复杂的乘法公式与整式除法.doc

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1、复杂的乘法公式及整式除法一．思路导航：归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)

2、2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz一．例题精讲例1．（位置）已知，，求的值。解：∵∴=∵，∴=例2（符号）计算(-2x2-5)(2x2-5)　　分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”

3、是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．　　解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4．例3（指数）计算　例4.（系数）计算：简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。解：原式例5.（增项）计算：简析：由观察整式，不难发现，若先补上一项，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。解：原式例6.（逆用）（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+y-

4、z+5)(2x-y+z+5).解：（1）(x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)=[1+(x+y)][1-(x+y)]=12-(x+y)2=1-(x2+2xy+y2)=1-x2-2xy-y2.（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=[(2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]=(2x+5)2-(y-z)2=(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)=4x2+20x+25-y2+2yz-z2=4x2-y2-z2+2yz+20x+25

5、.例7.（连用）计算：解：原式例8.（换式）计算：解：原式　例9.计算：(1)(6×108)÷(3×103)÷(-4×10-4)　　(2)9(m-n)4÷3(m-n)3　　解：(1)(6×108)÷(3×103)÷(-4×10-4)　　　分析：①此题可仿同底数　　=[6××(-)](108÷103÷10-4)　　　　　　　　　　　幂的乘除混合计算进行　　=-×108-3-(-4)=-×108-3+4　　　　　　　　　　　②第一步运算将10的幂的系数　　=-×109　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　相乘除

6、，10的幂相乘除　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③第二步再做10的幂的乘法　　(2)9(m-n)4÷3(m-n)3　　　　　　　　分析：①此题运用两个单项式相除的法则　　=9××[(m-n)4÷(m-n)3]　　　　　　　　　②(m-n)的系数相除,(m-n)的指数相减　　=3(m-n)4-3=3(m-n)　　　　　　　　　　　　③3(m-n)不能作结果，应用乘法分配律计算　　=3m-3n.　　　　　　　　　　　　　三.易错点分析1（）2（）3、（）4567例2计算(-a2+4b)2　　分

7、析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）　四.即学即练例1．（位置）已知，，求的值。解：∵∴∴=∵，∴例2（符号）计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．　　分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．　　解：原式=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(

8、2x+5)-(y-z)〕　　=(2x+5)2-(y-z)2　　=4x2+20x+25-y+2yz-z2．例3（逆用）计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．　　分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．　　解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]　　=2a