高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节双曲线学案文北师大版

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1、第七节　双曲线[考纲传真]　1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．(对应学生用书第125页)[基础知识填充]1．双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于

2、F1F2

3、)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线，两焦点之间的距离叫作焦距．其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(2)集合P＝{M

4、

5、

6、MF1

7、－

8、M

9、F2

10、

11、＝2a}，

12、F1F2

13、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<

14、F1F2

15、时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝

16、F1F2

17、时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>

18、F1F2

19、时，M点不存在．2．双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形条件2a＜2c，c2＝a2＋b2，a＞0，b＞0，c＞0范围x≥a或x≤－a且y∈Ry≥a或y≤－a且x∈R对称性对称轴坐标轴、对称中心原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1

20、(0，－c)，F2(0，c)渐近线y＝±xy＝±x实轴、虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度

21、A1A2

22、＝2a；a叫做双曲线的实半轴长．线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度

23、B1B2

24、＝2b；b叫做双曲线的虚半轴长．焦距

25、F1F2

26、＝2c(c2＝a2＋b2)离心率e＝∈(1，＋∞)，e越接近于＋∞时，双曲线开口越大；e越接近于1时，双曲线开口越小3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.[知识拓展]1．巧设双曲线方程(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可设为－＝λ(

27、λ≠0)(2)等轴双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)(3)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn＜0)2．焦点三角形的面积双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点P(x0，y0)与两焦点构成的焦点三角形F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝

28、PF1

29、·

30、PF2

31、·sinθ＝·b2.3．离心率与渐近线的斜率的关系e2＝1＋，其中是渐近线的斜率．4．过焦点垂直于实轴的弦长过焦点垂直于实轴的半弦长为.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4

32、)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)(3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．(教材改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)A．2　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．1D　[依题意，e＝＝＝2，∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]3．(2017·福州质检)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，

33、F2，点P在双曲线E上，且

34、PF1

35、＝3，则

36、PF2

37、等于(　　)A．11B．9C．5D．3B　[由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义

38、

39、PF1

40、－

41、PF2

42、

43、＝

44、3－

45、PF2

46、

47、＝2a＝6，∴

48、PF2

49、＝9.]4．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)A．B．C．D．D　[因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，所

50、以P(2，±3)，

51、PF

52、＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF＝×

53、PF

54、×1＝×3×1＝.故选D．]5．(2016·北京高考改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为__________.【导学号：00090297】x2－＝1　[由于2x＋y＝0是－＝1的一条渐近线，∴＝2，即b＝2a，①又∵双曲线的一个焦点为(，0)，则c＝，由a2＋b2＝c2，得a2＋b2＝5，②联立①②得a2＝1，b2＝4.∴所求双曲线的方程为x2－＝1.](对应学生用书

55、第126页)双曲线的定义及应用　(1)(2018·长春模拟)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若

56、PF1

57、＝

58、PF2

59、，则△F1PF2的面积为(