2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.6 双曲线学案 文

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1、8．6　双曲线[知识梳理]1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(

2、F1F2

3、＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于

4、F1F2

5、且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M

6、

7、

8、MF1

9、－

10、MF2

11、

12、＝2a}，

13、F1F2

14、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)当ac时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图

15、形续表3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　　)(2)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心

16、率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P53T3)已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是(　　)A．x＝±yB．y＝±xC．x＝±yD．y＝±x答案　D解析　由椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1有公共的焦点，得m＋1＝8－5.所以m＝2，所以双曲线方程为－y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选D.(2)(选修A1－1P51例3)已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±

17、x，则此双曲线的离心率为________．答案　解析　因为焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以＝，即b＝2a.由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋4a2＝5a2，即＝5，所以e＝＝.3．小题热身(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)A.B．3C.mD．3m答案　A解析　由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，其中a2＝3m，b2＝3，故c＝＝，不妨设F为双曲线的右焦点，故F(，0)．其中一条渐近线的方程为y＝x，即x－y＝0，由点到直线

18、的距离公式可得d＝＝，故选A.(2)(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2

19、AB

20、＝3

21、BC

22、，则E的离心率是________．答案　2解析　由已知得

23、AB

24、＝

25、CD

26、＝，

27、BC

28、＝

29、AD

30、＝

31、F1F2

32、＝2c.因为2

33、AB

34、＝3

35、BC

36、，所以＝6c，又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－(舍去)．题型1　双曲线的定义及应用　　(2017·湖北武汉调研)若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A

37、(1,4)，则

38、PF

39、＋

40、PA

41、的最小值是(　　)A．8B．9C．10D．12利用双曲线定义得到

42、PF

43、＋

44、PA

45、＝2a＋

46、PB

47、＋

48、PA

49、，再利用

50、PA

51、＋

52、PB

53、≥

54、AB

55、求出最小值．答案　B解析　由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知

56、PF

57、＋

58、PA

59、＝4＋

60、PB

61、＋

62、PA

63、≥4＋

64、AB

65、＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．∴

66、PF

67、＋

68、PA

69、的最小值为9.故选B.　　(2018·河北邯郸模拟)设动圆C与两圆C1：

70、(x＋)2＋y2＝4，C2：(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C的轨迹方程为________．根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解．答案　－y2＝1解析　设圆C的圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由题设知r＞2，于是有或∴

71、

72、CC1

73、－

74、CC2

75、

76、＝4＜2＝

77、C1C2

78、，即圆心C的轨迹L是以C1，C2为焦点，4为实轴长的双曲线，∴L的方程为－＝1，即－y2＝1.方法技巧1．“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双

79、曲线的定义经常使用．(2)技巧：经常结合

80、

81、PF1

82、－

83、PF2

84、

85、＝2a，运用平方的方法，建立它与

86、PF1

87、·

88、PF2

89、的联系．2．应用双曲线定义需注意的问题(1)在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于

90、F1F2

91、，否则轨迹是线段或不存在．(2)求