2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.6 双曲线学案 文.doc

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1、8.6 双曲线[知识梳理]1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2(

2、F1F2

3、=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于

4、F1F2

5、且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P={M

6、

7、

8、MF1

9、-

10、MF2

11、

12、=2a},

13、F1F2

14、=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0:(1)当ac时,P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,

15、b>0)图形续表3.必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线,其方程可写作:x2-y2=λ(λ≠0).(3)等轴双曲线⇔离心率e=⇔两条渐近线y=±x相互垂直.[诊断自测]1.概念思辨(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(  )(2)双曲线方程-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.(  )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.(  )(4)若双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a

16、>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).(  )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2.教材衍化(1)(选修A1-1P53T3)已知椭圆+=1和双曲线-y2=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是(  )A.x=±yB.y=±xC.x=±yD.y=±x答案 D解析 由椭圆+=1和双曲线-y2=1有公共的焦点,得m+1=8-5.所以m=2,所以双曲线方程为-y2=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选D.(2)(选修A1-1P51例3)已知中心在原点,焦点在y

17、轴的双曲线的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的离心率为________.答案 解析 因为焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y=±x,所以=,即b=2a.由c2=a2+b2,得c2=a2+4a2=5a2,即=5,所以e==.3.小题热身(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(  )A.B.3C.mD.3m答案 A解析 由题意知,双曲线的标准方程为-=1,其中a2=3m,b2=3,故c==,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(,0).其中一条渐近线

18、的方程为y=x,即x-y=0,由点到直线的距离公式可得d==,故选A.(2)(2016·山东高考)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2

19、AB

20、=3

21、BC

22、,则E的离心率是________.答案 2解析 由已知得

23、AB

24、=

25、CD

26、=,

27、BC

28、=

29、AD

30、=

31、F1F2

32、=2c.因为2

33、AB

34、=3

35、BC

36、,所以=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2或e=-(舍去).题型1 双曲线的定义及应用  (2017·湖北武汉调研)若双曲

37、线-=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则

38、PF

39、+

40、PA

41、的最小值是(  )A.8B.9C.10D.12利用双曲线定义得到

42、PF

43、+

44、PA

45、=2a+

46、PB

47、+

48、PA

49、,再利用

50、PA

51、+

52、PB

53、≥

54、AB

55、求出最小值.答案 B解析 由题意知,双曲线-=1的左焦点F的坐标为(-4,0),设双曲线的右焦点为B,则B(4,0),由双曲线的定义知

56、PF

57、+

58、PA

59、=4+

60、PB

61、+

62、PA

63、≥4+

64、AB

65、=4+=4+5=9,当且仅当A,P,B三点共线且P在A,B之间时取等号.∴

66、PF

67、+

68、PA

69、的最小值为9

70、.故选B.  (2018·河北邯郸模拟)设动圆C与两圆C1:(x+)2+y2=4,C2:(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切,则动圆圆心C的轨迹方程为________.根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差,然后用定义法求解.答案 -y2=1解析 设圆C的圆心C的坐标为(x,y),半径为r,由题设知r>2,于是有或∴

71、

72、CC1

73、-

74、CC2

75、

76、=4<2=

77、C1C2

78、,即圆心C的轨迹L是以C1,C2为焦点,4为实轴长的双曲线,∴L的方程为-=1,即-y2=1.方法技巧1.“焦点三角形”中常用到的知

79、识点及技巧(1)常用知识点:在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.(2)技巧:经常结合

80、

81、PF1

82、-

83、PF2

84、

85、=2a,运用平方的方法,建立它与

86、PF1

87、·

88、PF2

89、的联系.2.应用双曲线定义需注意的问题(1)在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”,否则轨迹是双曲线的一支;二是“常数”小于

90、F1F2

91、,否则轨迹是线段或不存在.(2)求

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