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1、第二章行列式练习题在本节中，设的一个排列，h(k)表示该排列中位于k后面且比小的数的个数；q(k)表示该排列中位于k前面且比k大的数的个数。1.求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性1)134782695;2)217986354;3)987654321;解:1)所求排列的逆序数为:τ(134782695)=h(1)+h(3)+h(4)+h(7)+h(8)+h(2)+h(6)+h(9)+h(5)=0+1+1+3+3+0+1+1=10所以此排列为偶排列.2)所求排列的逆序数为:τ(217986354)=h(2)+h(1)+h(7)+h(9
2、)+h(8)+h(6)+h(3)+h(5)+h(4)1+0+4+5+4+3+0+1=18所以此排列为偶排列.3)所求排列的逆序数为:τ(987654321)=q(9)+q(8)+q(7)+q(6)+q(5)+q(4)+q(3)+q(2)+q(1)=0+1+2+3+4+5+6+7+8=36所以此排列为偶排列.2.选择i与k使1)1274i56k9成偶排列;2)1i25k4897成奇排列.解:1)当i=8,k=3时,所求排列的逆序数为:τ(1274i56k9)=τ(127485639)=10.当i=3,k=8时,所求排列的逆序数为:τ(1274
3、i56k9)=τ(127435689)=1=3.故当i=3,k=8时，该排列为偶排列.2)当i=3,k=6时,所求排列的逆序数为:τ(1i25k4897)=τ(132564897)=0+1+0+1+1+0+1+1=5故当i=3,k=6时的排列为奇排列.3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换.解:12435(1,2)→21435(2,5)→25431(3,4)→25341.4.决定排列n(n−1)…21的逆序数,并讨论它的奇偶性.τ(n(n−1)…21)=q(n)+q(n-1)+…+q(3)+q(2)+q(1)=1+2+3+…+
4、n-1=.故当n=4k,4k+1时，排列为偶排列；当n=4k+2,4k+3时，排列为奇排列.5.如果排列的逆序数为k,排列的逆序数是多少?解法1:因为在中，比x大的数有n−x个,而这n−x个数会出现在这两个排列中x的前面，所以在这两个排列中，与x构成逆序的数一共有n−x个，于是，两个排列的逆序总数为.而排列的逆序为k,所以排列的逆序为-k.解法2：首先看第4题，排列n(n−1)…21中任意两个元都构成一个逆序，所以其逆序总数为.再同时考虑两个排列和，对于任意两个元xi和xj,它们在这两个排列中必构成且只构成一个逆序，事实上，若这两个数在中不
5、构成逆序，则必在中构成逆序，反之亦然，从而这两个排列的逆序数之和为.6.在6阶行列式中,这两项应带有什么符号?解：两者的符号均为“+”，因为τ(234516)+τ(312645)=(1+1+1+1+0+0)+(2+0+0+2+0+0)=8.τ(341562)+τ(234165)=(2+2+0+1+1)+(1+1+1+0+1+0)=10.7．写出4阶行列式中所有带有负号并且因子a23的项。解：所求的各项应是−a11a23a32a44，−a12a23a34a41，−a14a23a31a42.8．按定义计算行列式：(1)解：(1)考虑行列式的通项
6、¹0Û于是的，所给行列式的展开式中只含有一个非零项，它前面的符号为原行列式的值等于(2)所给行列式的展开式中只含有一个非零项，它前面的符号为原行列式的值等于(3)所给行列式的展开式中只含有一个非零项，它前面的符号为原行列式的值等于9．由行列式定义证明：证明：考虑行列式展开的通项中的，这三个元素取自第三，四和五行的不同的列，而这三行的五列元素中有三列全为零，所以中至少有一个元素为零，于是该行列式的任一项均为零。10．由行列式定义计算中x4与x3的系数，并说明理由。解：含有x4的展开项只能是a11a22a33a44,所以x4的系数为1。同理，含
7、有x3的展开项只能是a12a21a33a44,所以x3的系数为-1。11.由，证明奇偶排列各占一半。证明：由于行列式的每一个元素都是1，所以该行列式作为n!项的代数和，每一项都是n个1的乘积，从而每一项都为正1或-1，即，且当排列j1j2…jn为奇排列时，该项等于-1，当排列j1j2…jn为偶排列时，该项等于1。于是由得奇偶排列各占一半.12.设，其中a1,a2,…,an是互不相同的数.1）由行列式定义，说明P(x)是一个n−1次多项式；2）由行列式性质，求P(x)的根.解：1）因为所给行列式中只有第一行含有x，所以由行列式的定义，其每一项
8、的n个因子中，至多有一个元是x的方幂，而该方幂最高位n-1,事实上,含有xn−1的对应项的系数恰为，所以P(x)是一个n−1次多项式。2）由行列式性质，当x分别取a1,a2,…,
