[理学]第二章、行列式

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1、第二章行列式1行列式的概念n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开定理行列式的计算再论可逆矩阵2二元线性方程组的求解（消元法）.a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(1)(2)§1行列式的概念背景：当时，方程组有唯一解一般形式也可表示为其中3定义1.1二阶行列式为了方便表示上述结果，引入下列定义（1）等号右边的式子称为行列式的展开式（2）行列式的计算结果是一个数，称为行列式值。（3）称为行列式的元素,右下标表示位置（4）正确区分矩阵和行列式:矩阵是表,行列式是数（5）二阶行列式也可以称

2、为矩阵的行列式注意：4引入二阶行列式的定义后，二元一次线性方程组的解可以用二阶行列式表示。当时，有其中，表示分母的行列式称为系数行列式5同样，可以用消元法求解三元一次线性方程组a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3定义1.2对角线法则三阶行列式系数行列式6当系数行列式相应的三元线性方程组方程组有唯一解其中7说明：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．(1)项数：2阶行列式含2项，3阶行列式含6项,这恰好就是2!,3!.(2)每项构成:

3、2阶和3阶行列式的每项分别是位于不同行不同列的2个和3个元素的乘积.(3)各项符号:2阶行列式含2项,其中1正1负,3阶行列式6项,3正3负.观察二阶行列式和三阶行列式：思考：四阶及四阶以上的行列式的展开式应该如何？8例1计算行列式例2解方程组注意：系数行列式为9n!定义2.1由n个不同的数字构成的一个有序数组称为这n个数字的一个n级排列.例如：123455123453214都是数1，2，3，4，5构成的一个5级排列.自然排列.按照由小到大的顺序排成的排列称为定义2.2§2n阶行列式的定义一.排列的逆序数注：n个

4、数的不同排列有个10在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这个排列有一个逆序.一个排列中出现的逆序的总数定义2.3称为这个排列的逆序数，排列的逆序数通常记为例如：排列12的逆序数为，排列21的逆序数为，排列231的的逆序数为，排列213的逆序数是。012111定义2.4逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。n级排列的逆序数的计算或者=12求排列32514的逆序数.例1例2求排列453162的逆序数.例3求排列423165的逆序数.=思考：由上面的例题你还能得到什么方法来计算排

5、列的逆序数？13定义2.5把一个排列中的某两个数交换位置，其余的数不动，这种交换称为一次对换.将相邻的两个数对换，称为相邻对换.定理2.1一次对换，改变排列奇偶性．证明：（由特殊到一般）思考：对排列进行一次对换，排列的奇偶性是否发生变化？例：排列132的逆序数是1，为奇排列。将数1，2做一次对换变为排列231，其逆序数是2，为偶排列。14的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,当时，当时，经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性.对换，除外，其它元素的逆序数不改变.设排列为先证相邻对

6、换,15所以一个排列中的任意两个元素对换，排列都改变奇偶性.次相邻对换次相邻对换次相邻对换再证一般对换设排列为现来对换与16定理2.2时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为个.推论1偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次对换改变排列的奇偶性。推论2任意一个n级排列都可以经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.171.概念的引入三阶行列式说明：（1）项数与列标排列个数的关系：三阶行列式共有项，即项．（2）每一项的结构：每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积（3）每项的符号：每项

7、的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列指标排列（当行指标排列为自然排列时）．二.n阶行列式的定义18例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列因此,三阶行列式可写成下列形式192.n阶行列式的定义由个数，组成的一个行列的式子，用记号其展开式为表示,称为一个阶行列式其中，20即连加号表示对所有这样的排列求和21说明:（1）行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而引入的;（5）一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;（6）上式称为n阶行列式的完全展开式.占一半，行列

8、式是一个数;（2）阶行列式是项的代数和,其中正负项各（3）阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;(4)的符号是22行列式的等价定义23例1在6阶行列式中，下列项应带什么符号.解:431265的逆序数为所以前边应带正号.342165的逆序数为所以前边应带正号.思考：上题还有第三种方法吗？24例2计算4阶行列式解：根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一项的乘积