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1、总分装订线第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）（时间：2015年月日）一、填空题(每小题10分，共80分)1．，中较大的是______．【答案】．【解答】估值判断较大．要证，即，，只需证，即，显然成立，故较大．解法二：，，通过估值得，所以，故较大．2．记，除以2015的余数等于______．【答案】0．【解答1】因为2015=5×13×31，而含有因数5，13，31，所以被2015整除；又中含有因数10=2×5，26=2×13，62=2×31，所以也被2015整除.【解答2】由于其中n为某
2、整数，因此N是2015的倍数，所以余数是0．3．如图，在矩形OABC中，OA=6，OC=5．反比例函数的图象分别与AB和BC交于E和F点．那么三角形OEF与三角形BEF的面积差等于______．【答案】．【解答】由已知：，所以故=．4．A和n都是自然数，且．如果A是平方数，那么n的最大可能值是______．【解答1】设和的最大公约数是d，则有由此，我们有d=3，y-x=1，y+x=5，y=3，x=2，n=19;4)d=5，y-x=1，y+x=3，y=2，x=1，n=8.所以，n的最大可能值是56．【解答2】
3、设,则,即.又知A是一个完全平方数,由勾股定理可知,x,,是某一个直角三角形的三边,且是斜边,欲使n最大就是使x最大,由于它们围起一个直角三角形,所以,取,则,所以.此解是整数满足题意,本题的解是.5．用表示不超过实数的最大整数，方程的所有根的乘积等于______．【答案】．【解答】设，为整数．则．由得到或．当时，；当时，．所以两根的乘积等于．6．如图，直角三角形ABC中，三角形ADF，三角形BED和三角形CFE分别是以A，B，C为顶点的等腰三角形，AC=17厘米，BC=15厘米，那么三角形DEF的面积是_
4、_____平方厘米．【答案】．【解答】由勾股定理，AB=（厘米），三角形ABC的面积=60平方厘米．设厘米，厘米，厘米，由题目条件有：，解上述方程组，可得：．连接BF，由于当2个三角形高相等时，其面积比等于底边比。考虑得三角形ADF的面积=三角形AFB的面积x考虑得三角形ABF的面积=三角形ABX的面积所以三角形ADF的面积=三角形ABC的面积(平方厘米),同理，直角三角形BED的面积=(平方厘米),三角形CFE的面积=三角形ABC的面积(平方厘米)．最后得到:三角形DEF的面积=（平方厘米）．解2由勾股定
5、理，AB=（厘米），三角形ABC的面积=60平方厘米．设厘米，厘米，厘米，由题目条件有：，解上述方程组，可得：．过D，E，F分别作它们所在直线的垂线，由于由于三角形ADF,三角形BED和三角形CFE分别是以A,B,C为顶点的等腰三角形，这三条垂线交于三角形三内角的平分线的交点，记为O。过D作DO垂直AB，DO与角A的平分线交于点O，连接OF，由于AD=AF，OF垂直于AC，且OD=OF。所以，O在DF的垂直平分线上。分别作DE,DF,EF的垂直平分线,垂直平分线的交点记为O分别连接OD,OE,OF.由于三角
6、形ADF,三角形BED和三角形CFE分别是以A,B,C为顶点的等腰三角形,所以O为角A，角B和角C的平分线的交点。所以OD=OE=OF矩形BEOD是正方形,由勾股定理,,.由三角形面积公式得,.由勾股定理,三角形ODF,三角形OEF的高分别为,,三角形ODF,三角形OEF的面积分别为,,故三角形DEF的面积为,即(平方厘米).7．设为实数，那么的最小值是______．【答案】．【解答】由已知当，即时，是最小值．8．在右图的八个顶点处分别标上1或，共有4个1和4个，将每个四边形4个顶点处的数相乘，再将所得的所
7、有的积相加，那么其和至多有______个不同的值．【答案】4个．【解答】称四边形4个顶点的积为“顶点积”，则共有6个“顶点积”。8个顶点处所标的数记为，其中有4个1，4个，称四边形4个顶点的积为“顶点积”，只能是1或．将6个“顶点积”相乘，得：，说明6个“顶点积”中，积为的个数是偶数，可能的个数是0,2,4和6，则6个“顶点积”的不同的和至多有4个，分别是，，2和6．能否有4个不同的和？下图是6个“顶点积”的和分别是6，2，2和6，其顶点处1和1的放法．【解答2】将图形看成是立方体的叙述:围成一个面的4个顶
8、点的积是1或者取决于4个点中,标1的个数或者的个数是偶数个或者奇数个．4个1,4个共8个标号,无论怎么分,围成两对面的点所含的个数的和为4,它们所含的的个数一定是同奇偶的,相对的面的点标号的积的和等于2或者．所以三个对面和只能是,,,.不可能出现4,因为假设是4,一定出现,要么是两个2,一个,或者是一个2,两个,或者三个,和都不等于4,与和为4的假设矛盾．和为,,2和6的情况是存在的,如前面解法所示．二、解答下列
