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1、第一讲三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式Ⅰ、两角差的余弦公式重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.教学过程1、提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用向量的知识,如何推导发现cos(α-β)=?如图1,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则=,=,∠AOB=.由此可知,对于任意角α、β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))③细心观察C(α-β)公
2、式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？填空,cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)=__________④如何正用、逆用、灵活运用C(α-β)公式进行求值计算？.如①cos75°cos45°+sin75°sin45°=？②cosα=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ.是否成立2、应用示例例1利用差角余弦公式求cos15°的值变式训练1.利用差角余弦公式求sin75°,sin15°的值.2.利用差角余弦公式求:cos110°cos20°＋sin110°sin20
3、°.的值例2已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.变式训练已知sinα=,α∈(0,π),cosβ=,β是第三象限角,求cos(α-β)的值例3已知cosα=,cos(α+β)=,且α、β∈(0,),求cosβ的值.Ⅱ、两角和与差的正弦、余弦、正切公式重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.教学过程1、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请写出。②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请思考角α-β
4、中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?结论1、cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β).③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?结论2、因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=si
5、nαcosβ-cosαsinβ.⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=?tan（α+β）=？结论3、由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β).tan(α+β)=tan(α-β)=⑦分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？我们把前面六个公式分类比较可得C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.归纳总结以上六
6、个公式的推导过程，得出以下逻辑联系图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式2、应用示例例1已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.变式训练1.计算cos75°，tan105°的值。2.设α∈（0，,），若sinα=，则sin（α+）等于（）A、B、C、D、4例2利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos7
7、2°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）例3求证：cosα+sinα=2sin(+α).（两种方法）练习：化简下列各式：（1）sinx+cosx;（2）cosx-sinx.Ⅲ、二倍角的正弦、余弦、正切公式重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.教学过程(问题导入)1、若sinα=,α∈(,π),求sin2α，cos2α的值.并总结思想方法。2、①请试着用sinα或cosα,表示sin2α，co
8、s2α。②请试着用tanα表示tan2α。（新知讲解）这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.公式说明：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S2α),(C2α)中的角α没有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需
