奥数：第6讲 数数与计数4

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1、本讲采用枚举法解决数数与计数的问题。比如老奶奶数鸡蛋，她小心翼翼地把鸡蛋从篮子里一个一个地往外拿，边拿边数。篮子里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数出来了。这种最简单的数数与计数的方法就叫做枚举法。【例1】用分别写有数字1和2的两张纸片，能够排出多少个不同的二位数?解：用和代表这两张纸片。把所有可能的排法枚举出来，可知能排出两个二位数来。它们是：【例2】用分别写有数字0，1，2的三张纸片能排出多少个不同的二位数?解：因为“0”不能作为首位数字，所以只能排出4个二位数，它们是：1作十位数字，0或2作个位数字：2作十位数字，0或1作个位数字：【例3】用分别写有数字1，2，3的三张纸片能

2、排出多少不同的三位数?^解：用枚举法，即把所有可能排出的每一个三位数都写出来。再数一数共有多少个。共6个不同的三位数。【例4】小明左边抽屉里放有三张数字卡片右边抽屉里也放有三张卡片如果他每次从左右两边抽屉里任意各拿一张出来，组成一个二位数，在纸上记下来之后，再把卡片放回各自原来的抽屉里。然后再拿、再组数、再记、再放回……这样一直做下去，问他一共可能组成多少个不同的二位数?解：不妨假设小明先从左边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在十位；再从右边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在个位。下面是记下来的所有不同的二位数：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9个不同的二位数。【例5

3、】有一群人，若规定每两个人都握一次手而且只握一次手，求他们共握多少次手?假设这群人是：①两个人，②三个人，③四个人解：画图。用点“·”代表人。如果两人握一次手就在两个点之间连一条线。那么，点和点之间连线的条数就代表握手的次数。见以下的图。①两个人：两点之间只能连一条线，表示两个人共握1次手。②三个人：三点之间有三条连线，表示三个人共握3次手。③四个人：四点之间有六条连线，表示四个人共握6次手。【例6】铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的，距离愈远，票价愈高。如果一段铁路上共有五个车站，每两站间的距离都不相等，问这段铁路上的火车票价共有多少种?解：如图所示，用一条线段表示这段

4、铁路用线段上的五个点代表五个车站，各点间距离不同表示各车站间距离不同，因而票价不同。由图可见，各段长度不同的线段就表示各种不同的票价。数一数，票价种数是：4+3+2+1=10种。【例7】小明到小华家有甲、乙两条路，小华到小英家有a，b，C三条路(如下图所示)。小明经过小华家去找小英，他想每次都不走完全重复的路线，问有多少种不同的走法?解：共有6种不同的走法，见下图。1．用三张数字卡片，，，可以排出多少个不同的三位数?其中最大的比最小的大多少?2．有四张数字卡片从中抽出三张组成三位数，问这些卡片可能组成多少个不同的三位数?3．用两套数字卡片可组成多少个不同的二位数?4．在一次小学数

5、学竞赛的领奖台上有五名同学上台领奖，他们每两个人都互相握了一次手。问他们共握了多少次手?5．全区六所小学举行小足球赛，每个学校派出一个代表队，要求规定每两个校队之间都要赛一场，问一共要赛多少场?6．右图是小英家和学校之间的街道图。问小英去上学时，共有多少种不同的走法?(不准故意绕远走)7．如右图所示，一只蚂蚁从一个正方体的A点沿着棱爬向B点，如不故意绕远，一共有几种不同的击法?1．解：注意，0不能当作首位数字。所能排出的三位数字共有4个。它们是：407，470，704，740。最大的数是740，最小的数是407。最大的数比最小的数大740－407=333。2．解：注意0不能当作首

6、位数字。所能排出的三位数字共18个。102，104，120，124，140，142；201，204，210，214，240，241；401，402，410，412，420，421。3．解：共组成25个不同的二位数。11，12，13，14，15；21，22，23，24，25；31，32，33，34，35；41，42，43，44，45；51，52，53，54，55。4．解：画图。用点代表人，用两点之间的连线代表两个人的一次握手。按这种规定连线的总条数就是握手的总次数。数一数，共有10条连线，所以共握手10次。5．解：共赛15场。见下图。①方法1：如右图所示这样数：一小和二小、三小、四

7、小、五小、六小共赛5场；二小再和三小、四小、五小、六小共赛4块；(_二小不能再和一小赛，因为它们已经比赛过了，下同)三小再和四小、五小、六小共赛3场；．四小再和五小、六小共赛2场；五小再和六小共赛1场。比赛场次总数：5+4+3+2+1=15(场)。②方法2：每个学校都要和其他的五个学校各赛一场，共5场。因而六个学校所赛的场次是5×6=30场。但是这样计算还有个问题，比如说一小和二小赛了一场，这一场比赛被两个学校都计算在了自己所赛的场次里，因而被计了两次。所以总场数也就多计了一倍。