奥数：初中奥数系列：2011暑期.第9讲 全等三角形中的截长补短 学生版

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1、第九讲全三角形中的辅助线重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化板块一、截长补短【例1】(年北京中考题)已知中，，、分别平分和，、交于

2、点，试判断、、的数量关系，并加以证明．　　【例2】如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【例1】如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．【例2】已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.【例3】以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点．求证：平分．【例4】如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周

3、长．【巩固】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在中，，是底边上的一点，是线段上的一点，且，求证.【例1】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE【巩固】(2009浙江湖州)若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．⑴若点为锐角的费马点，且，，则的值为________；⑵如图，在锐角外侧作等边，连结．求证：过的费马点，且．版块二：与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角

4、平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，【例1】如图，已知的周长是，，分别平分和，于，且，求的面积．ADOCB【例2】在中，为边上的点，已知，，求证：．【例3】如图所示：，，、相交于点．求证：平分．【例4】已知中，，、分别是及平分线．求证：．【例1】(2006年北京中考题)已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．【例2】如图，在中

5、，，、分别平分、，且与的交点为．求证：．【例3】如图，已知是上的一点，又，．求证：．【例1】(北京中考题)如图所示，是和的平分线，，．求证：．【例10】如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥【巩固】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．【例11】如图所示，AD是的角平分线，DE、DF分别是的高，，则等于________．【例10】如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=3，∠BAC=120°．求AD的长．【巩固】在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．　

6、　　　【例11】如图，在中，，的平分线交与．求证：．【巩固】如图，中，，，平分交于点．求证：．【巩固】已知等腰，，的平分线交于，则．【例10】如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，，求证．【例11】如图所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．【巩固】如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证且．【巩固】如图所示，在中，平分，，于，求证．【例10】如图，中，，、分别为两底角的外角平分线，于，于．求证：．【巩固】已知：和分别是的和的外角平分线，，，求证：⑴；⑵．【例10】如图，在中，，、

7、分别是、的平分线，，．求证：．【例11】在直角三角形中，，的平分线交于．自作交于，交于．自作于，求证：．版块三：倍长中线法三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中

8、线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．【例1】已知：中，是中线．求证：．【巩固】(2002年通化市中考题)在中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？【例2】如图，中，，是中线．求证：．【例3】如图，