奥数：初中奥数系列：.圆c级.第讲.学生版

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1、圆的综合（一）例题精讲【例1】如图，在中，弦于，（1）求的半径，（2）求的长．【难度】3星【解析】第一问利用的是圆周角的度数为圆心角的一半，第二问利用的是垂径定理【答案】（1）连接，作、，∵，，又∵，∴，∴（2）∵，又∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴【巩固】（2010•珠海）如图，内接于，=6，=4，是边上一点，是优弧的中点，连接．（1）当BD的长度为多少时，是以为底边的等腰三角形？并证明；（2）去的中点，连接，若，求的长．【难度】3星【解析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）根据相似三角形的知识和垂径定理进行求解．【答案】（1）当时，是以为底边的等腰三角形．∵是

2、优弧的中点，∴=．∴．∴当．∴，即是以为底边的等腰三角形．（2）由（1）可知，当时，，，过点作于，则．∵，∴，，又∵∴．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．【例1】（2005•内江）如图所示，半径为2，弦，为的中点，为弦的中点，且在上，求四边形的面积．【难度】3星【解析】由是的中点，根据垂径定理，可知，且=，在中，利用勾股定理，可求出=1，即，那么，，而是中点，会出现等底同高的三角形，因而有．【答案】连接交于点，连接，∵在直径上且点是中点∴，在中由勾股定理得=∵∴∴∵点是中点∴又∵和同高∴同理∴∴．【点评】本题利用了垂径定理、勾股定理

3、，还有等底同高的三角形面积相等等知识．【巩固】（2010•南平）如图所示，的直径长为6，弦长为2，的平分线交于点，求四边形的面积．【难度】3星【解析】四边形ADBC可分作两部分：①，由圆周角定理知，中，根据勾股定理即可求得直角边的长，进而可根据直角三角形的面积计算方法求出的面积；②，由于平分，则，由此可证得是等腰直角三角形，即可根据斜边的长求出两条直角边的长，进而可得到的面积；上述两个三角形的面积和即为四边形的面积，由此得解．【答案】∵是直径，∴，在中，，，∴；∵的平分线交于点，∴；∴，∴；∴在中，，∴四边形的面积=．【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质

4、，勾股定理等知识的综合应用能力．【例1】（2011•肇庆）己知：如图，内接于，为直径，的平分线交干点，交于点，于点，且交于点，连接．（1）求证：（2）求证：点是线段的中点（3）若的半径为5，，求的值．【难度】3星【解析】（1）根据圆周角定理得出，以及得出答案即可；（2）首先得出，再根据，且得出，从而得出；（3）利用相似三角形的判定得出即可得出答案．【答案】（1）∵平分，∴，∵与都是所对的圆周角，∴，∴；（2）∵为直径，∴，∵于，∴，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，即：是的中点；（3）∵，，∴，∴，∴在中，，即：．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理和等腰三角形的性质，根据证

5、明以及，得出答案是解决问题的关键．【巩固】（2011•宜宾）已知：在中，以边为直径的交于点，在劣弧上取一点使，延长依次交于点=，交于．（1）求证：；（2）若，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．【难度】3星【解析】（1）连接，由圆周角定理即可得出，，再根据直角三角形的性质即可得出结论；（2）由，可求出，利用勾股定理即可得出的长，再由相似三角形的判定定理与性质可求出的长，连接AE由圆周角定理可得出，进而得出，由相似三角形的性质即可得出结论．【答案】（1）连接，∵，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴∠，∴，∴，∴，连接，∵是直径，∴，∵，

6、∴，∴，∴，∴．【点评】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【例1】（2011•孝感）如图，等边内接于，是上任一点（点不与点重合），连、，过点作交的延长线于点．（1）填空：=度，=度；（2）求证:；（3）若，求梯形的面积．【难度】3星【解析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等即可；（3）利用上题证得的两三角形全等判定为等边三角形，进而求得的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【答案】（1），；（2）∵，∴，，∴，∴；（3）∵，∴又，∴为等

7、边三角形，∴，作于，在Rt中，，∴，∴梯形的面积为：．【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．【巩固】（2011•桂林）如图，在锐角中，是最短边；以中点为圆心，长为直径作，交于，过作交于，连接、、．（1）求证：是的中点；（2）求证：；（3）若，且，求的长．【难度】3星【解析】（1）由是的直径，即可求得，又由，即可证得是的中点；（2）首先延长交于，则