奥数：初中奥数系列：.圆c级.第3讲.学生版

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1、四点共圆中考要求内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题重难点1．理解四点共圆概念；2．能够利用四点共圆的性质，熟练掌握四点共圆的证明方法；课前预习四点共圆与相似由于新教材舍去了四点共圆的内容，四点共圆不能作为证题的桥梁，但并不是说之前四点共圆能够解决的问题就没有其他办法了，事实上四点共圆得到的结论都可以通过相

2、似得到。如图：四点共圆的应用：“对角互补”等价于“四点共圆”等价于“”等价于“”。本质上是借助“四点共圆”得出“对角互补”，“”，“”三者等价。此三者等价可以不借助四点共圆，用相似得到：四点共圆与相似：四边形对角互补，则则，则，若，则得到则，则由于相似可以代替四点共圆的结论，应用四点共圆可以解决的问题都可以通过相似解决，四点共圆可以用相似来替代这在本质上是一种等价关系，由于数学建立了严密的逻辑体系，定理都是建立公理的基础上，四点共圆是，相似也是，这些定理都是由公理推演而出，只是形式不同，他们共同等价于原始的公理，这也解决问题的思路方法有众多的原因所在，他们在本质上是

3、等价的。例题精讲一、四点共圆定义及性质如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．四点共圆有三个性质：（1）同弧所对的圆周角相等（2）圆内接四边形的对角互补（3）圆内接四边形的外角等于内对角以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明证明四点共圆的基本方法二、证明四点共圆的方法：1、若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．2、若一个四边形的一组对角的和等于，则这个四边形的四个顶点共圆．3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那

4、么这两个点和这条线的两个端点共圆．5、若、两线段和交于点，且，则四点共圆．6、若、两线段延长后相交于P．且，则四点共圆．7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆．【例1】如图和中，，求证点，，，四点在同一个圆上．【例2】如图，为、、、的斜边，求证：四点共圆．【巩固】从的顶点到引垂线，从向、引垂线，垂足为，求证：四点共圆．【拓展】如图，在中，，中，，若三点在同一直线上．连接、，点、、分别为、、的中点．求证．【例1】如图，在平行四边形中，为钝角，且．（1）求证：四点共圆；（2）设线段与⑴中的圆交于．求证：．【巩固】如图，是的直径，弦交于点，点

5、是上一点，和交于点．，垂足为，求证：．【巩固】正方形的中心为，面积为，为正方形内的一点，且，，求．【拓展】已知在凸五边形中，，且，求证：．【例1】如图，是外一点，和是的切线，为切点，与交于点，过任作的弦．求证：．【巩固】如图，已知内接于，、为的切线，作，交于，连结并延长交于，求证：．【拓展】如图，直线和与分别相切于，为圆上一点，到得距离分别为，试求到的距离．课堂检测1.如图，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直

6、线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA．求证：PA是半圆的切线．总结复习1．通过本堂课你学会了．2．掌握的不太好的部分．3．老师点评：①．②．③．课后作业1.在梯形ABCD中，，，，分别在，上，．求证：．2.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点E，且DE=2EB，F为AC的中点．求证：（1）∠FBD=30°；（2）AD=DC．三个法五幅文人画有5个特和屈辱感他前往瑞典发送的发送到法国俄国个儿而后七日后教屠夫汉文条件虽然公司的营业日的分公司问题与入口化工集团具体如何退还退伙公司股份的七月五日

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