矢量的基本代数运算.doc

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1、Ch.2曲线论§1曲线与矢函数一般地说，若一个矢量决定于一个（纯量）变数，我们就把它叫做变量的矢函数，写成。在标架中，曲线的（分量式）参数矢方程为：§2矢函数的导矢与曲线的切线某矢函数在某点连续的充要条件是其各分量在该点都连续。若矢函数在t0连续，则其导矢为导矢函数有时也简称为导矢。设为任意空间曲线。若矢函数在闭节里每一个t值连续，则曲线成为连续曲线。导矢的几何意义：保证曲线在t0值对应点的切线存在而且代表这条切线的方向。就叫做在该点的一个切（线）矢（量）。若在闭节里，而且连续，则的切线随着切点的移动而连续变动位置，这样的曲

2、线叫做光滑曲线。矢函数的微分，这个定义在形式上和纯量函数一样。若，，是含纯量变数t的矢函数，l为t的纯量函数，则12有了导矢的概念就可以引进高阶导矢、多元矢函数的偏导矢、高阶偏导矢和全微分等概念，也有泰勒公式，不定积分和定积分概念。§3切线与法面.弧长除非另有声明，我们永远假定，对于曲线（即保证上没有奇点），而且遇到的矢函数的各阶导矢都是连续的。在点的切线方程为其中表示切线上“流动点”的径矢，l是参数。经过而垂直于切线的平面叫做在的法面，其方程为其中表示法面上流动点的径矢。经过而垂直于切线的每一条直线都叫做在的法线，它们都在

3、法面内。经过切线的每一个平面都叫做在的切面。曲线的参数是可以改变的，对于任意曲线，一个自然的参数是它的弧长。在上取任意固定点P0作为度量弧长的始点（相当于原点）并规定一个弧长增加的正向，则对于曲线上任意点P，弧长有一个代数值。设P1为上另一个任意的固定点，则也可以写成或者，即12若在度量弧长始点P0，参数，则或即这就是弧长s和t参数的关系。引进弧长作为参数，是幺矢。用“.”表示对于弧长的微导，并用表示幺矢：于是是沿切线上的一个幺矢，称为的幺切矢。§4曲率曲线在它上面的一点P处的曲率是表示它在P点邻近的弯曲程度的一个几何量。设

4、P0为上任意固定点，P为上在P0邻近的一点，它们依次对应于弧长参数值和，设在P0，P的切线之间的角是，我们规定曲线在P0的曲率为对于平面曲线§5曲线论的基本公式.挠率由于切矢是幺矢，对于弧长s微导，就得若在切点P0，曲率，就沿一条法线的方向，这条法线叫做在P0的主法线，而与同向的幺矢就叫做在P0的主法矢。曲线上曲率的点一般是孤立点，叫做曲线上的逗留点。在曲线上一个非逗留点P0，切矢和主法矢是两各互相垂直的幺矢，令12就得到第三个幺矢，它也垂直于，叫做在P0的副法矢，经过P0沿方向的直线就叫做在P0的副法线。当切矢的正向颠倒时

5、，副法矢的正向也颠倒，而主法矢的正向始终不变。在曲线上每一个非逗留点P0，都有三个右旋的、彼此垂直的幺矢，，，叫做在P0的基本矢。切线，主法线，副法线构成一个三稜形，叫做基本三稜形，它们决定三个彼此垂直的平面：和切线垂直的是法面，和主法线垂直的是从切面，和副法线垂直的是密切面。对于非平面曲线（也叫挠曲线），曲线在一点的密切面是经过该点和曲线“最贴近”的平面。，，是彼此垂直的幺矢，任意矢量都可以写成它们的线性组合将，，写成它们的线性组合由于，，微导，就得若引进符号则这叫做曲线论的基本公式（Frente公式）。曲线在P0的挠率是

6、衡量它在该点邻近偏离平面曲线（或密切面）的程度。挠率的几何意义：若P0为上任意固定点，P为上在P0邻近的一点，它们依次对应于弧长参数值和，是在P0，P的副法线之间的角，则曲线在P0的挠率为12曲线的曲率和挠率对于刚体变换都是不变量，这两个不变量一起，完全确定曲线的大小形状，仅仅不能确定曲线的位置，曲线的一切性质（包括它的一切不变量）都被这两个不变量完全决定，他们就叫做曲线的基本不变量。§6简单的例1）渐开线和基圆的一切切线正交，它是基圆的切线的一条“正交轨线”。2）对于圆柱螺线假定，则可以看出：a）圆柱螺线的曲率和挠率都是常

7、数。b）挠率和螺线的节有相同的符号。当时，，螺线称为右旋的；时，，螺线称为左旋的。一般地，若一条曲线在一点的挠率，则它在该点邻近称为右旋的，它在那里的形状类似右旋螺线，反之，，则成为左旋的。c）主法矢指向曲线凹入的一方。对于挠曲线，这也是一条普遍规律。圆柱螺线的主法线和螺线的轴垂直相交。12a）螺线的升角§7主法线的正向无论是平面曲线，还是挠曲线，在非逗留点（），主法矢都指向曲线凹入的一侧。§8密切曲线若两条曲线，在一点P0相切，有共同的主法矢（因而有共同的密切面），又有共同的曲率，则它们称为在P0密切。若，在P0相切，而且

8、曲率都是0，它们也叫做在P0密切，例如一条曲线在一个逗留点就和它的切线密切。若平面曲线，在P0密切，则它们一般地在P0互相交叉，即一般地每条在经过P0时跨过另一条。§8密切圆设P0是曲线的一个非逗留点，即在P0，的曲率。令在的主法线上，取Z0点，使，则在的密切面上，以Z0为中心，以为半径的