4超难奥数题之数论专题：约倍考功底

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1、约倍考功底【例1】已知：a＋b＝667，，求a、b的值。【例2】a＋b＝60，(a，b)＋[a，b]＝84，求a、b的值。【例3】任意选取9个连续的自然数，设它们的乘积为P，最小公倍数为Q。求P除以Q所得到的商最大可能值是多少？并试构造这样一组连续自然数。【例4】两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60，问这样的自然数共有多少组？2测试题【例1】已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。【例2】为自然数，且，、、与690都有大于1的公约数。的最小值为。答案：【例1】【分析】方法一：设这两个自然数分别是、，其中a与b互

2、质(不妨设)，根据题意有：所以可以得到m是54和114的公约数。，2，3或6，如果，由，有；又由，有。，但是，，所以。如果，由，有；又由，有。，但是，，所以。如果，由，有；又由，有。，但是，，所以。如果，由，有；又由，有。20表示成两个互质数的乘积有两种形式：，虽然，但是有，所以取是合适的，并有，，两数为：24，30。方法二：另外像这类问题也可以这么考虑：两个数的最小公倍数和最大公约数的和或差也是大公约的整数倍，所以我们可以把114分解成两个数的乘积：，来确定大公约和小公倍。例如大公约如果是2那么小公倍对应的就是，然后再利用短除法，知道了大公约和小公倍，确定这两个数，且要满足条件两数

3、的和是54。【例2】【分析】，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数。如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于1的公约数。所以9个数中只有5个偶数，剩下的4个数，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则、、、、是偶数，剩下的4个数中、是3的倍数(5个偶数当中只有是3的倍数），还有、一个是5的倍数，一个是23的倍数。是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另一个是5的倍数，显然是最小解，所以的最小值为5。2