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时间:2018-12-13
《2超难奥数题之数论专题:质合看分解》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、质合看分解【例1】2001个连续的自然数之和为a×b×c×d,若a、b、c、d都是质数,则a+b+c+d的最小值是多少?【例2】有3599只甲虫,依次编号为1,2,3,……,3599,开始时头都朝东。第1秒钟,编号为1的倍数的甲虫向右转90度;第2秒钟,编号为2的倍数的甲虫向右转90度;第3秒钟,编号为3的倍数的甲虫向右转90度,……,如此进行。那么,1小时后,第3599号甲虫头朝哪个方向?【例3】若整数A使得(A-42)能整除(42A-1),那么所有这样的A是多少?【例4】在1,2,3,…,1994,19
2、95这1995个数中找出所有满足下面条件的数来:1995+a能整除1995×a。3测试题【例1】对于两个不同的整数,如果它们的积能被和整除,就称为一对“好数”,例如70与30。那么在1,2,……,16这16个整数中,有“好数”多少对?【例2】已知m、n两个数都是只含质因数3和5,它们的最大公约数是75,已知m有12个约数,n有10个约数,求数m与n的和。【例3】如果个奇质数中,任意奇数个数的和仍是质数,那么这个数组可称之为“完美质数组”,⑴证明,的最大值为。⑵当时,求个质数的乘积的最小值。答案:【例1】【分
3、析】设这两个数为、,且,有,即,这样就变成了分数拆分问题。单位分数的拆分,主要方法是从分母的约数中任意找出两个数和,有:,由于,故,得。当时,有,由于,有满足;当时,有,有满足;当时,有,由于,有满足;3当时,有,由于,此时没有满足条件的、;当时,有,由于,有满足;当时,有,由于,此时没有满足条件的、;如此逐个验证的值,可得“好数”有3与6,4与12,6与12,10与15,共有4对。【例2】【分析】因为,所以我们如果设,,那么p、x中较小的数是1,q、y中较小的数是2.我们知道一个数的约数的个数等于它分解质
4、因数后每个质因数的质数加1的乘积。所以,,又,,不难得出,,,.所以,,。【例3】【分析】⑴因为如果这些数中有个数除以的余数各不相同或者完全相同,则这个数之和必然是的倍数,不可能是质数,所以这些数除以的余数最多有两类而且每类的数最多有个。所以,最多可以写出个。⑵当时,因为这个数组中所有的数都是质数,所以这个数不可能有被除余数为0的,否则,在的情况下,这些数除以的余数最多有两类而且每类的数最多有个,所以这些数中至少有两个被除余数为0的,即被整除的,所以这两个数中至少有一个不是这个唯一被整除的质数,那么是合数,
5、与题意不符,因此这个数被除的余数的情况只有、、、。写出所有除以余的奇质数:、、、、、、、、、……写出所有除以余的奇质数:、、、、、、、、、、……以上两行数中各有个数当中的两个。①如果这个数中含有,那么另外个数被除的余数可能为、、、。这两行数被除的余数分别如下:、、、、、、、、、……()、、、、、、、、、、……如果这其余的个数被除的余数各不相同,那么必有两个余数恰好在(、)、(、)这两个括号中的一个括号中。这时,该括号中余数对应的两个数与的和是一个被整除的合数,与题意不符;如果这个数被除的余数都相同,根据上面
6、所列的余数的情况,这个数中必然有一个数大于或等于,这时这个数的乘积至少为;如果这个数被除的余数仅有两个相同,容易判断,这三个余数只能是、、或、、或、、或、、。通过尝试,得到、、、这组乘积的值最小,乘积为。②如果这个数中不含有,那么,这四个数的乘积至少是。综上,这个数是、、、时乘积取得最小值,最小值是。3
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