6超难奥数题之数论专题：综合拼数感

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1、综合拼数感【例1】从Tom和Jerry说起。【例2】从(2007年第十二届“华杯赛”总决赛)圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针方向依次编号为1，2，3，…，2999，3000。首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，…，直到1号棋子被取走为止。问：此时，⑴圆周上还有多少枚棋子？⑵在圆周上剩下的棋子中，从编号最小的一枚棋子按顺时针方向开始数，第181枚棋子的编号是多少？【例3】(第四届“华杯赛”总决赛)小华玩某种游戏，每局可随意玩若干次，每次的得分是8、a、0这三个自然数中的一个，每局各次的得分的总和叫做这一局的总积分。小

2、华曾得到过这样的总积分：103、104、105、106、107、108、109、110，又知道他不可能得到“83分”这个总积分。问a是多少？【例4】有4个互不相同的3位数，他们的首位数字相同，并且他们的和能被他们中的3个数分别整除，请写出这四个数。3测试题1．请你将、、、……、这个数重新排成一列，使得：第个数能被第个数整除，前个数的和能被第个数整除，前个数的和能被第个数整除，……，前个数的和能被第个数整除，前个数的和能被最后一个数整除。2．华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年：“猛攻苦战是第一，熟练生成百巧来，勤能补拙是良训，一分辛劳一分才。”现在将

3、诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数。如果这28个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？答案：1．【分析】考虑重新排列后的最后一个数，因为，所以最后一个数能整除，如果令最后一个数是，则前个数的和是．此时可以令第个数是，则前个数的和是。以此类推，可以令第个数是，第个数是，第个数是，第个数是，……，第个数是，第个数是，第个数是，第个数是。所以，重新排列后的顺序是，，，，，，……，，，，。2．【分析】(法1)这28个数的总和为。这28个汉字共有24个

4、不同的汉字。设这串连续自然数的起始的数是，不同汉字所对应的自然数依次是：，，…，；设其中“分”字对应的自然数是，“是”字对应，“一”字对应，诗文中“分”、“是”各出现2次，“一”出现3次，其它汉字各出现1次。则有：3因为，，所以，所以最大可能为35。取，，，(或，或，)，得到满足条件的解，所以其中“分”对应的自然数最大可能是35。(法2)得到后可以这样处理该不定方程，首先求的最值，显然最多能取到，最少能取到，即，由于是整数，所以，这时可以分类讨论，按照，……依次分析，显然当时，最多能取到，(此时，)，而当时，此时能取到最大值23，那么也就能取得到

5、，当时，显然不可能取到更大的值。所以的最大值为35。3