3超难奥数题之数论专题：奇偶靠联想

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1、奇偶靠联想【例1】三个相邻偶数的乘积是一个六位数8****2，求这三个偶数。【例2】已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(a＋b)(c＋d)e＝2890，那么，这5个数当中最大的数至多是______。【例3】请问多位数会不会是一个完全平方数？说明理由。【例4】如果n个奇质数中，任意奇数个数的和仍是质数，那么这个数组可称之为“完美质数组”，⑴证明，n的最大值为4。⑵当n＝4时，求4个质数的乘积的最小值。2测试题1．在11张卡片上各写有一个不超过5的数字，将这些卡片排成一行，得到一个11位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得

2、到一个11位数。请证明这两个11位数的和至少有一位数字是偶数。2．甲、乙两人将正整数5至11分别写在7张卡片上。他们将卡片背面朝上，任意混合后，甲取走3张，乙取走2张，剩下的2张卡片他们谁也没看。甲看了手里的3张卡片后对乙说“你的2张卡片上的数之和是偶数”。试问：甲手里的是哪三个数？答案是否唯一？答案：1．【分析】如果在求和时发生进位现象，那么考虑从右往左数的第一次进位，由于是第一次进位，所以这一个数位上没有进位过来的，那么这只有这一个数位上的两个数字都是5时才有可能成立，而这一位向上一位进1后，所得的和的这一位上的数字是0，是个偶数。也就是说如果发

3、生进位，那么所得的和至少有一个数字是偶数；如果这两个11位数在求和时不发生进位现象，由于没有进位，那么每一位上的两个数字相加就得到和数的一个数字，于是这两个11位数的各位数字之和的和就等于这两个11位数的和的各位数字之和，而前者是两个相同的数相加，是个偶数；后者是11个数相加，那么其中必有偶数(否则，11个奇数相加，仍是奇数)，所以不发生进位时仍然至少有一位数字是偶数。2．【分析】甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中。因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和是偶数时，甲才能说出自己的断言．而这就意味着这4张卡片

4、上的数的奇偶性相同，即或者都是偶数，或者都是奇数。但由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，只能是奇数。所以3张写着偶数的卡片全部在甲的手里。2