数学几何动点问题

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1、.数学几何动点问题课程解读一、学习目标：了解几何动态问题的特点，学会分析变量与其他量之间的内在联系，探索图形运动的特点和规律，掌握动态问题的解题方法．二、考点分析：近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选内容，有点动、线动、图形运动等类型，呈现方式丰富多彩，强化各种知识的综合与联系，有较强的区分度，且所占分值较高，具有一定的挑战性．知识梳理几何动态问题是指：在图形中，当某一个元素，如点、线或图形等运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题．它是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景，通过观察、分析、

2、归纳、推理，动中窥定，变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和方法，明确图形之间的内在联系．几何动态问题关心“不变量”，所体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化的方法．当求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时，常建立方程模型求解．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法．典型例题知识点一：动点问题例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＝90°，AB＝28cm，DC＝24cm，AD＝4cm，点M从点D出发，以1cm/s

3、的速度向点C运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形ANMD的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是（）思路分析：1）题意分析：本题涉及到的知识点主要有直角梯形、函数及其图象等．....解答过程：D解题后的思考：本题中有两个动点，在允许的范围内某一时刻四边形ANMD是固定不动的，可用含t的式子表示出面积y，再根据y与t之间的关系式确定函数图象．直线FE交AB的延长线于G．过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M、N．设

4、HM＝x，矩形AMHN的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？思路分析：1）题意分析：本题通过点H的运动变化，综合考查四边形、线段的比、二次函数等知识．2）解题思路：解答本题的关键是用含x的式子表示出AM，而AM＝AB＋BM＝4＋BM．BM又可看作是BG与MG的差，运用△CEF和△BEG的关系可求出BE和BG的长，运用△MHG和△BEG的关系可表示出MG．....（1）求S△ABC；（2）证明不论a取任何实数，△BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求

5、实数a的值．思路分析：1）题意分析：本题中动点P的位置没有给出来，根据点P的坐标特征，它应该在一条直线上，这条直线与y轴平行，在y轴的右侧，到y轴的距离是1．点P的位置随a的变化而在直线x＝1上运动．....2）解题思路：（1）因为△ABC为等腰直角三角形，所以只要求出AB即可．又因为A、B两点是已知直线与x轴、y轴的交点，所以两点坐标可求，这样OA、OB的长可求，在Rt△OAB中，利用勾股定理可求得AB．（2）求△BOP的面积可以以OB为底，点P到y轴的距离为高．底边OB不变，高为点P的横坐标1，所以S△BOP为常数．（3）注意满足条件的点

6、P可能在第四象限，也可能在第一象限．解题后的思考：求△ABC的面积实质是求它的两条直角边长，本题的（1）和（2）问比较容易，（3）问难度稍微大一些，应注意分情况讨论．小结：解答动点问题要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解．一般方法是抓住变化中的“不变量”，首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表示出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识求解．知识点二：动线问题例4.小明在研究垂直于直径的弦的性质的过程中（如图所示，直径AB⊥弦C

7、D于E），设AE＝x，BE＝y，他用含x、y的式子表示图中的弦CD的长度，通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x、y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式__________．....思路分析：1）题意分析：关于x、y的不等式是通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系得出的，解本题的关键是找出AB与CD的某种数量关系．解题后的思考：在这个问题中，弦CD是变化的，直径AB（即x＋y）是不变的，弦CD无论怎样变化都不会超过直径，正是根据这一点确定了本题的不等关系式．例5.如图，已知平行四边

8、形ABCD及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d．（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满足怎样的关系式？证明你的结论．（2）