必修四⑤三角恒等变换(两角和与差的正弦、余弦和正切).doc

《必修四⑤三角恒等变换(两角和与差的正弦、余弦和正切).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、三角恒等变换基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝；(6)T(α－β)：tan(α－β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α：cos

2、2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝.3．有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos2α＝，sin2α＝；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋

3、β)－β；β＝－；＝－.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．题型分析1、三角函数式的化简、求值※相关链接※（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的

4、拆分，从而正确使用公式；②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。（2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号；（3）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：①化为特殊角的三角函数值；②化为正、负相消的项，消去求值；③化分子、分母出现公约数进行约分求值。※例题解析※〖例〗（1）化简（2）求值思路解析：（1）从把角变为入手，合理使用公式；（2）应用公式把非角转化为的角，

5、切化弦。解答：（1）原式=因为0<<π,所以所以所以原式=-cosθ(2)原式2、三角函数的给值求值问题※相关链接※三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。（3）常见的配角技巧※例题解析※〖例〗已知，求的值。思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现或将变化为，再由求解。解答：方法一：∵，又。又又方法二：3、三角函数的给值求角问题※相

6、关链接※（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好。（2）解给值求角问题的一般步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角。※例题解析※〖例1〗如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A、B的横坐标分别为、（1）求tan(α+β)的值；（2）求的α+2β值。思路解析：由已知得cosα,cosβ求tanα,t

7、anβ求tan(α+β)求tan(α+2β)求α+2β的范围求α+2β的值。解答：由已知条件得：〖例2〗思路解析：解答：∴注：已知三角函数值求角，一般分两步：①“恰当”地根据角的范围选择一个三角函数值；②根据角的范围与三角函数值确定该角的值。4、三角函数的综合应用〖例〗已知α、β为锐角，向量（1）若，求角的值；（2）若，求tanα的值。思路解析：（1）由，及的坐标，可求出关于α、β的三角函数值，进而求出角；（2）由可求出关于α、β的三角恒等式，利用方程的思想解决问题。解答：（1）∵…………………………………………………①…………………………………………②由①得

8、，由②得由α、β为锐角，∴β=。从而=