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1、统计力学的系综理论(一)相关预备知识概念简介：(1)经典力学如何描述一个刚性物体的运动状态？一个刚性物体在某一时刻，只要它的坐以及它在各个坐轴上的分动量均确定。那么这个物体的运动状态也就确定了，即一个物体的运动状态可以用六个参数来描述。物体在某一时间段内，所有的运动状态的集合就构成了描述物体运动状态的相中间。明显，这是一个六维空间7?6,即将炉称之为坐标空间，7T称之为动量空间。它们的笛卡尔积就是相应的相空间。这个六维空间7?6也称之为//空间，这样就可以说:—个物体的运动状态可以用//空间屮的一个点来表示。相体
2、积元为：dxdydzdpxdpvdp_,相应体系的HamiltonB:(能量函数)为：(/.2++尸_2)。当有某它场力存在2m时，体系的Hamilton量变为：//=—(;?/++/??)+z),C/(x，y，z)代表相应2m的势能。由以上可知：当有7V个刚性物体运动时，那么就需要一个2x3JV维空间7?2x3"来描述，称.V此空间为r空间。显然有：於湖二®凡6(即个//空间的笛卡尔积构成了相应的r空间)。;=1也就是说r空间描述了；v个物体的运动状态，r空间屮的任意一个点均代表着;v个物体在相应时刻上所处的
3、运动状态。若令：P=(P'、，Py'，Pz'，PX2，Py2，P:2……PXN，PyN，/)9=(A，％，A，X2，h，Z2……xN，yN，zN、那么r空间的代表点即为(/?，;7=(x1,y,,z1,x2,y2,z2xA,，y?v，z")。/=1(2)相体积不变原理：在不同的坐标系中，相体积元保持不变。即在相应的坐标
4、变换和动量变换之间相体积元保持不变。例如在笛卡尔坐标系跟球坐标系之间有：dxdydzdpxdpvdp_=drd6d(f)dprdpddp此时给出广义动S/?Y(X可以代表任意一个物理:kb例如位移，欧拉角等)的概念:Z)J7扣1PX——W例如当繼脉且物体只有平动运动的时候：動丁V，E了、i-i2)i所以pv=^=+(—腳2)=mv,从而可以看出这与以前所定义的动ffl形式完全一样。axdv2当一个刚性物体只做平动运动时有：E=—mv2=—m(v2+v2+k2)=—(p2+p2v^-p2x>z2m)x=rsin汐c
5、os於令相应的坐标变换为，7=rsinpcos夕z-rcos0贝1J有:參參x=rsin0cossinsin+rOcos少cos沒••y=rsin0in汐+r於cos(/)sin3+r3sin於cos沒z=rcos3-r3sin3所以：9**9x=(rsin沒cos-r({)sin於sin汐+r沒cos於cos0)=(/•sin沒cos0-r》sinpsin^)2+(r汐cospcos汐)+2r^cos^cos6{rsin^cos-z*^sin^sin3)y2=(rsin^sin+z^cos^sind+z^sin
6、於cos沒)2/.^yr.y/•^=rsinsin+rcos(/>sin0+r^sin^cos^+2r汐sin於cos权rsinsin+rcossin//z2=(?cos沒一zWsin役)2z2zrcos3)+r0sin02+i2=r2+r2<92+rV2sin2^所以由£=^m(v2+v2y+v2z)可得£=
7、zn(r2+r202+r2^2sin23)所以:£(r'，勿=-mr2+-mr2d2+丄⑽2sin2时222所以根据广义动量的概念有：3£(r,<
8、9,^)•pr==mrdrdE(r90^)2np0==mri)sin^rsin0dE(r^)2-.2.p,-=/?2r^sin6以上就是物体在极坐标下的广义动量表达式，由此也可以引出极坐标下的能量函数£(r，/9肩：即在极坐标下三维平动子的Hamilton量为H由以上可知：1(几2+4外2+'2m2^-2••px=mx=m(rsin沒cos(f)-r(f)sin少sin0+r0cos珍cosff)..icos0cossinpP，eco*Pqpv=my=m(?sin夕sin沒+r夕cos夕sin权+r沒sin夕co
9、s60.2sin0cos沒cos泠p,.sm^+p6^^+p,-—-gP-=mz=m(rcos3-r0sin0)P,cos3-p0所以：dpY.2dpYcoscosdpY=sin沒cos夕；-=；dpr如0厂3p'••人^Pysincosdpvcos夕^Podprdp.sin0dp:r、=0sincoscoscos从px，py，p)从p,.，p0，pj所以由:dpxdp'
