第十六章 兩等距／比率變項間的相關.doc

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1、第十六章　　兩等距/比值尺度變項間的相關壹、本單元目標1、解釋散佈圖（scattergram）。2、計算及解釋斜率（slope）、截距（intercept）、Pearson’sr及r2。3、找到並說明最小平方之迴歸線（theleast-squaresregressionline）並用其來預測應變項的數值。4、解釋總變異量（totalvariance）、已解釋變異量（explainedvariance），以及未解釋變異量（unexplainedvariance）等概念。5、用迴歸及相關的技巧來分析及描述兩個變項間的關係。6、從事Pearson’sr的顯著測定。貳、前言兩等距／比值變項間的相

2、關，通常是稱之為correlation（當然我們仍可用association）。雖然這裡談的變項，是用與先前介紹的測量尺度不同，但是一談到相關，我們還是要問相關是否存在，相關之強度及相關方向或趨勢等三個主要問題。貳、Scattergrams（散佈圖）　　在前面章節討論相關時，第一步要做的是檢查交叉表之百分比的情況。自然，在兩變項是類別或等級變項時，我們可以這麼做。當兩變項都是interval-ratio時，我們就不能看百分比之變化，但我們可以先看兩變項之散佈圖。散佈圖即是以資料中每一個案在兩變項之分數而建立之坐標圖。　　以書中P.395表15.1之資料為例，可以畫出如圖15.1（P.39

3、5）之散佈圖。表15.1之例共有12個案，每一個案（家）在小孩人數及丈夫每週做家事時間兩變項上各有一值。若以小孩人數為X，做家事時間為Y，則每一個案之X、Y值則為圖15.1中之一點。如您所見圖15.1有清楚的標題，X及Y軸亦有軸之標題，通常X及Y軸之長度相等，而其各軸之坐標單位則視情況而定。所謂散佈圖即為各(X、Y)值資料點之散佈情況，這些點之散佈情況顯示出兩變項相關的基本特性。如果我們能畫一條直線盡量穿過或接近各點，則這些特性會更清楚，這條線可稱為迴歸線(regressionline)。　　從散佈圖，我們可以先大致看出兩變項相關是否存在、相關的強弱，以及相關的方向。我們也可大致判斷，這

4、兩變項的相關是否為直線性的（therelationshipoflinearity6）。散佈圖也可用來從一個案在一個變項的分數來預測其在另一變項的分數為何。如果X和Y兩變項有相關的話，則Y之值應隨X值做變化，而散佈圖中每一X值上方之點，即可視為Y值之條件分配(conditionaldistribution)，即在此X值之情況下，Y值之分配為何。而X及Y無相關時，Y值並不會隨X值變化，在此無相關之情況下，其點之散佈會如P.396之圖15.2之C圖。無相關時，迴歸線會與X軸平行。　　至於說相關之強度，則可視資料點散佈之範圍大小而定，若是散佈之範圍愈小，或是愈接近迴歸線，則相關程度愈強，自然要是

5、有一直線能穿過所有之點，自是完全相關之情況，如圖15.2之A，B皆是。而相關之方向則視迴歸線與X軸之角度及點之散佈方向而定，要是X分數愈高，Y值亦愈高，自是正相關，反之則為負相關。　　散佈圖中，點之分佈情況並不一定是能用一直線來接近各點，有時，以曲線來接近各點或許更好。在前者之情況所顯示的是為兩變項間有一直線性關係(alinearrelationship)，而後者則為非直線性或曲線性關係(anon-linearorcurvilinearrelationship)。在此，只介紹適合直線性關係之相關量數，如果發現曲線關係，一個解決的方法是將interval-ratio變項視為等級變項，然後計

6、算相關量數（參考P.397之圖16.3）。參、迴歸及預測　　利用散佈圖及迴歸線，我們也可做預測之工作，所謂預測(prediction)，是猜測不在資料中之X值會對應什麼樣的Y值，此預測之Y值，是以Y′來表示，此值正是透過迴歸線來找。找的方法是先看該（不在資料中之）X值在X軸上是那一點，然後畫一垂直線與迴歸線相交，相交那一點再畫一與X軸平行之線，與Y軸相交之點，即為Y′。　　現在，最重要的問題是，這條迴歸線要怎麼畫，當然，最簡單的方法是用目測，找一條直線儘量接近各點，自然，我們有更好的方法。如果我們想要找一條直線儘量靠近各點的話，也就是要找一條線能使各點和此線之距離最短。這條線的找法和以前

7、談過所有分數與其平均數之差的平方和為最小有關，即　　　　Σ(Xi－)2＝minimum而先前也曾提過每一個X軸上之X值上方之Y值，可看成是Y6之條件性分配，換言之，每一X值之情況下之Y值之分配可有一平均數，這X值下之條件性平均數(conditionalmean)自與在此X值下之Y值之差的平方和為最小。如果我們找出各不同X值情況下之各條件性之Y的平均數，再將這些(Xi,i)的點連成一直線，就必然是一極佳的與各點距離最近的直線了。但天下