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1、.专题三:排列、组合及二项式定理一、排列、组合与二项式定理【基础知识】1.分类计数原理(加法原理).2.分步计数原理(乘法原理).3.排列数公式==.(n,m∈N*,且m≤n).4.组合数公式===(n,m∈N*,且m≤n).5.组合数的两个性质:(1)=;(2)+=(3).6.排列数与组合数的关系是:.7.二项式定理:;二项展开式的通项公式:.【题例分析】例1、从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力,如果其中甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,问共有多少种参赛方法?解法:问题分成三类:(1)甲乙二人均不参加,有种;(2)甲、乙二人有且仅有1人
2、参加,有2(-)种;(3)甲、乙二人均参加,有(-2+)种,故共有252种.点评:对于带有限制条件的排列、组合综合题,一般用分类讨论或间接法两种.例2:有5个男生和3个女生,从中选取5人担任5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选法数:(1)有女生但人数必须少于男生.(2)某女生一定要担任语文科代表.(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表.(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表.解:(1)先取后排,有种,后排有种,共有=5400种.(2)除去该女生后先取后排:种.资料.(3)先取后排,但先安排该男
3、生:种.(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种,再安排该男生有种,其余3人全排有种,共=360种.例3、、有6本不同的书(1)甲、乙、丙3人每人2本,有多少种不同的分法?(2)分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法?(3)分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分堆方法?(4)分给甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少不同的分配方法?(5)分成3堆,有2堆各一本,另一堆4本,有多少种不同的分堆方法?(6)摆在3层书架上,每层2本,有多少种不同的摆法?解:(1)在6本书中,先取2本给甲,再从剩下的4本书中取
4、2本给乙,最后2本给丙,共有(种)。(2)6本书平均分成3堆,用上述方法重复了倍,故共有(种)。(3)从6本书中,先取1本做1堆,再在剩下的5本中取2本做一堆,最后3本做一堆,共有(种)(4)在(3)的分堆中,甲、乙、丙3人任取一堆,故共有(种)。(5)平均分堆要除以堆数的全排列数,不平均分堆则不除,故共有(种)。(6)本题即为6本书放在6个位置上,共有(种)。例4、如果在的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项。解:展开式中前三项的系数分别为1,,,由题意得:2×=1+得=8。资料.设第r+1项为有理项,,则r是4的倍数,所以
5、r=0,4,8。有理项为。【巩固训练】一.选择题:每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,把它选出填在题后的括号内.1、设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中xk的系数不可能是A10B40C50D80.2、某赛季足球比赛的计分规则是:胜一场,得3分;平一场,得1分;负一场,得0分.一球队打完15场,积33分.若不考虑顺序,该队胜、负、平的情况共有A3种B4种C5种D6种.二.填空题:把正确答案填写在题中的横线上.3、将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内,每个盒内放一个球,则恰好有3个球
6、的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种.(以数字作答)4、设则―三.解答题:(解答应写文字说明,证明过程或演算步骤)5、(1)10个优秀指标分配给6个班级,每班至少一个,共有多少种不同的分配方法?(2)10个优秀名额分配到一、二、三3个班,若名额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方法?6、若=,求(1)―的值。(2)的值。二、等可能事件的概率【基础知识】等可能性事件的概率.【题例分析】资料.例1、某班有学生36人,血型分别为A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人,现从中抽出2人,求这两人血型不相同的概率.解:P(两人血型相
7、同)=P(两人血型均为A型)+P(两人血型均为B型)+P(两人血型均为AB型)+P(两人血型均为O型)=.所以,P(两人血型不同)=1-.点拨:从四种血型中抽出2种有C24=6种,依次分类则情形较复杂,所以本题用间接法较简便.例2、从男、女学生共有36名的班级中,任意选出两名委员,任何人都有同样的机会当选,如果选得同性委员的概率等于,求男、女相差几名?解:设男生有x名,则女生有36-x名,选得2名委员都是男性的概率为=.选得两名委员都是女性的概率为=.以上两种选法是互斥的,所以选得两名委员是同性委员的概率等于其概率和.依题意+=.解得x=15
8、或x=21.即该班男生有15名,女生有36-15=21人或者男生有21人,女生有36-21=15人,总之,男女相差6名.例3、在袋中装30个小球,其中彩球有n个红色