苍南县“姜立夫”杯数学竞赛高二试卷

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1、2008年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号.3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效.4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．若函数有最小值，则的取值范围是（）A.B.C.D.2.设，，，,则的大小关系是（　　）Ａ.　　　　　　　　Ｂ.Ｃ.　　　　　　　　Ｄ.3．函数是上的单调递增函数，当时，，且，则的值等于（）A.1B.2C

2、.3D.44．5名志愿者随意进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（）A.B.C.D.5．已知圆和过原点的直线的交点为P、Q，则

3、OP

4、·

5、OQ

6、的值为（）A.B.C.10D.56．已知（R），且则的值有（）A.2个B.3个C.4个D.无数个7.设函数，且，，则（）A.2B.1C.0D.8．连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦、可能相交于点②弦、可能相交于点③的最大值为5④的最小值为1其中真命题为（）A.①③④B.①②③C.①②④D.②

7、③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.请将正确的答案填在横线上）9．已知平面上三个点A、B、C满足，则____________.否结束（第10题图）输出是输入10．右图的发生器对于任意函数，可制造出一系列的数据，其工作原理如下：①若输入数据，则发生器结束工作；②若输入数据时，则发生器输出，其中，并将反馈回输入端.现定义,.若输入,那么,当发生器结束工作时,输出数据的总个数为.11．已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为.yOx1（第11题）12．从个男生，个女生（）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．若

8、A的概率和B的概率相等，则的可能值为．13．若关于的方程组有解，且所有的解都是整数，则有序数对的数目为.14．已知数列满足，，则=___.三、解答题（本大题共3小题，第15题8分，第16、17题各12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数（为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期，并指出其单调减区间；（Ⅱ）若函数在上恰有两个的值满足，试求实数的取值范围．16．已知数列中，.关于的方程有唯一解．(１)求数列的通项公式；(２)设,求数列的前项和；(３)设，求证：．17．是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？请给出结论，并加以证明．