数学：寒假专题——空间与图形

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数学：寒假专题__空间与图形课程解读一、学习目标：1.使学生加深对长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形和圆等平面图形基木特征的认识，进一步理解这些平面图形之间的关系，完善认知结构2.使学生进一步体会平面阁形与现实生活的密切联系，积累学习有关平面阁形知识的经验和方法，发展简单的推理能力，增强空间观念。二、重点、难点：重点：加深对长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形和圆等平面图形基本特征的认识，进一步理解这些平面图形之间的关系，完善认知结构。难点：両三角形、平行四边形和梯形上的高，理解三角形的分类，理解有关特殊三角形之间的关系以及四边形之间的关系。1.“空间与图形”部分是发展学生的空间观念，让学生体验数学与日常生活的密切联系，学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决口常生活中的问题。2.本讲内容同学们要熟练掌握长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形和阒等平面图形的基本特征。3.本讲内容在考试中经常出现的题型冇填空题、选择题以及解决问题，分值大约在8—10分。典型例题知识点一： 线：直线：把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。I垂线线段：用直尺把两点连接起来就得到一条线段，线段的长就是弦两点之间的距离'浅射线：把线段的一端无限延长可以得到一条射线。角：（1）角：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。（2）角的分类：锐角：大于CT而小于卯°的角。直角：等于90"的角。角^钝角：大于90°而小于180°的角。平角：等于180°的角。、周角：等于360°的角。思路分析：1）题意分析：本题主耍考查同学们对角的概念的基本理解，以及对角的直观感觉。2）解题思路：大于0°而小于90°的角是锐角，阁中共有ZAOB、ZBOC、ZCOD、ZDOE4个锐角直角是90°的角，图中共有ZAOC、ZBOD、ZCOE3个直角。钝角是大于90°而小于180°的角，图中有ZAOD、ZBOE2个钝角共有4+3+2+1=10个角（包括ZAOE这个平角）解答过程：下图中有（4）个锐角，（3）个直角，（2）个钝角，共（10）个角。解题后的思考：同学们在数角的时候要有一定的H测能力和测量能力，数角时按照一定的顺序数或者按照一定的规律数，就不容易数错或者遗漏。思路分析：1）题意分析：本题重在考查同学们思维的严谨性。2）解题思路：木题是一道开放性的试题，需要釆用分类讨论这一重要的数学思想。（1）如图1若分割线经过2个顶点A和D,那么就剩下4个角。(2)如阁2若分割线经过1个顶点A，那么就剩下5个角。(3)如图3若分割线不经过顶点，那么就剩下6个角。解答过程： 解题后的思考：本题是一道开放题，耍求同学们做题时耍全面考虑，不能只考虑到一种情况。在解题时尽量做到把所有可能出现的情况全部列举出来。小结：本知识点主要是使学生巩固线段、射线和直线的概念，使学生巩固角的概念，进一步认识角的分类及各类角的特征，并能区分锐角、直角、钝角、平角以及周角。知识点二： 平面图船三角形＜、三角形的分类r四边形的定义四边形j:四边形的分类桉角分按边分圆、扇恥图形的对称性旋转、平移、割拼平行四边形"直角梯恥梯形］1等腰梯形例3,判断对错，对的打“7”，错的打“X”n等边三角形的任意一边的高所在的直线都是它的对称轴,(2)有一组对边平行的四边形是梯形。•(3)两个三角形可以拼成一个平行四边形。(4)三角形中最少有两个角是锐角。p@脊边都相等的四迫形一定是正方形。形、正方形都是平行四边形。思路分析：1)题意分析：本题主要考查同学们对于平面图形的认识以及对平面图形特征的了解。2)解题思路：(1)主要是考査向学们对于等边三角形特征的了解，等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，每条边上的高所在的直线都是它的一条对称轴。(2)主要考查同学们对于梯形概念的理解，应该是只有一组对边平行的四边形j是梯形，而有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形。(3)应该是两个完全相冏的三角形可以拼成一个平行四边形。(4)因为三角形内角和为180°，所以在三角形中最少有两个锐角。(5)四条边都相等的四边形不一定就是正方形，还有可能是菱形。(6)长方形和正方形是特殊的平行四边形，所以这个判断也是正确的。解答过程：(1)等边三角形的任意一边的高所在的直线都是它的对称轴。(V)(2)有一组对边平行的四边形是梯形。(X)(3)两个三角形可以拼成一个平行四边形。(X) （4）三角形中最少有两个角是锐角。（7）（5）四条边都相等的四边形一定是正方形。（X）（6）长方形、正方形都是平行四边形。（V）解题后的思考：在做判断题的时候，同学们一定要仔细审题，把每道题考虑周全，而且还要对每个概念都掌握清楚。认真考虑题中的语句。4.一个梯彤如囹所示，上底是5cm:下底是8cm。（1）在梯形中画一条线段，把梯形分割成一个平行四边形和一个三角飛j已知分割成的平行四边形的®积是20平方厘米，求分割成的三角二^^函积。思路分析：1）题意分析：木题综合考查同学们对图形特征、面积的计算的掌握情况。2）解题思路：（1）首先分割出一个平行四边形，图中已有一组对边平行，我们只需画出一条与梯形的一条腰平行的直线；其次，另一部分是三角形，由三条边围成，所以只能通过梯形上底的一个顶点画梯形另一条腰的平行线。如图所示。（2）平行四边形、三角形、梯形的高都相同，由平行四边形的面积和底求出平行四边形的高。因为平行四边形的对边相等，所以三角形的底是8—5=3（厘米）解答过程：20+5X（8-5）4-2=6（平方厘米）解题后的思考：本题考查同学们的观察能力和想象能力，同时也考査同学们对于平行四边形面积公式，三角形面积公式的掌握情况，题FI屮并不是直接给出己知条件，而是让同学们根据己知去找所需要的条件，所以要求同学们对阁形的特征以及面积的计算要掌握得非常熟练。 例5.选择正确的答案填在括号中。（1）下®敘述中错误的是（）A.经过圆心，两个端点都在圆上的线段叫做圖的直径。B.圖内最枝的线段是圆的直径。对折，圖内的折痕就是圆的直径。D.:f端点都在圆上的线段是圆的直径。"A四个角都是直角的四边形是正方形。有一个角是直角的平行四边形是正方形。两条对角线垂直且平分的四边形是正方淋。D.邻边相等的长方形一定是正方形。z思路分析：1）题意分析：本组题主耍考查同学们对圆及正方形特征的掌握情况。2）解题思路：在这道题中，同学们要理解什么是圆的直径，以及圆的直径有什么特点，另外还要掌握正方形的特征，例如在选择题的第（2）题屮四个角都是直角的四边形还有可能是长方形。有一个角是直角的平行四边形也有可能是长方形，两条对角线垂直且平分的四边形有可能是菱形。所以同学们在选择的时候一定要先考虑周全，然后再进行选择。解答过程：（1）下面叙述中错误的是（D）A.经过阅心，两个端点都在阅上的线段叫做阅的直径。B.圆内最长的线段是圆的直径。C.把圆对折，圆内的折痕就是圆的直径。D.两个端点都在圆上的线段是圆的直径。（2）下面冇关正方形的叙述中正确的是：（D）A.四个角都是直角的四边形是正方形。B.有一个角是直角的平行四边形是正方形。C.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形。D.邻边相等的长方形一定是正方形。解题后的思考：在完成选择题的时候同学们必须认真审题，例如本组题的第（1）题就是让同学们选择叙述错误的是哪个选项，有部分同学习惯选择正确的选项，从而造成选择错误。小结：使学生进一步认识学过的四边形的特征及其和互之间的联系，能正确地画出长方形和正方形。进一步认识圆的特征，能正确地画圆；巩固轴对称图形的特征，能判断一个图形是不是轴对称图形，并能找出轴对称图形的对称轴。知识点三: 图形的周长与面积f<、圖f口面积jS=ah•枝方恥C=2(a+b)=2a+2b正方恥C=4aC=jcd=27cr长方形S=ab正方形S=a2三角形S=—ah2叫梯形S=—(a+b)h2扇瑕S—&丌r2360圆环S=je(R'-r2)例6.求下面图形的周长（单位：厘米）1_TI1512思路分析：1）题意分析：本题主要考査同学们平面图形周长的求法。2）解题思路：图一是由一条曲线和一条线段围成，曲线长是圆周长的一半，线段长是圆的直径长。这里也可以推导出半圆周长的公式：C二 3）一条路已经修了它的§4）我国人□总数占世界人口总数的22%^5）我国耕地总面租占世界耕地总面积的7%^研宄：w1）||表示把单位“1”平均分成50份，表示这样22份的一个分数。2）§米表示把1米的长度平均分成50份，表示这样的27份。（数重）3）一条路已经修了它的§表示把一条路看作单位“1”，把这条路全长平均分成50份，已经修了的占这样的27份（分率）。+2r=（Ji+2）r图二我们可以采用平移的办法，原图中各条线段的长度总和正好是一个长方形的周长。解答过程：图一：3.14X4X2+2+4X2=20.56（厘米）阁二：（15+7+3）X2=50（厘米）解题后的思考：在求平面图形的周长的时候同学们一定要仔细观察这些图形有什么犄点，例如在求阁一的周长时，很多同学会认为它的周长就是半圆的周长，很容易忘掉加上一条直径的长度。还有就是在求图二这种组合图形的周长时，同学们也容易一条一条线段的去加，而不去观察图形的特点。所以在做这种题的吋候同学们先不要着急，先观察每道题的特点然后再去解答。例7.下阁是两个相同的直角三角形叠在一起形成的，求阴影部分的面积。（单位：厘米）D5CE思路分析：1）题意分析：本题主要考查同学们运用转化替换的思想求有关图形的面积。2）解题思路：阁中的阴影部分虽然是一个梯形，可是它的上底、下底和高我们都不知道，所以我们不能直接求出它的面积。阴影部分的面积与三角形BCE的面积合在一起就是原直角三角形的面积。而梯形ABCD的面积与阴影部分的面积相等。梯形ABCD的上底BC等于直角边AD的长减去3，高就是DC的长。解答过程：因为阴影部分的面积+三角形BCE的面积=梯形ABCD的面积+三角形BCE的面积，所以阴影部分的面积就等于梯形ABCD的面积答：阴影部分的面积等于32.5平方厘米。 解题后的思考：在求组合阁形的面积时，同学们一定耍先仔细观察阁中的阴影部分有什么特点，然后再去找与阴影部分有关的条件，从而求出阴影部分的面积。例8.—个直角梯形，它的上底是下底的60%,如果上底延长18cm,下底延长6cm，就变成一个正方形，求原直角梯形的®积是多少平方厘苯？思路分析：1）题意分析：木题主要考查同学们对所学知识的灵活运用情况。2）解题思路：从图中我们可看出上底比下底少18—6=12（厘米），上底比下底少1一60%=40%，用12+40%=30（厘米），求出梯形的下底，又知道延长后是正方形，说明梯形的高与下底加上6厘米是相等的，梯形的上底是30厘米的60%,即30X60%=18（厘米），根据梯形面积公式就可以求出原直角梯形的面积了。解答过程：（18+30）X364-2=864（平方厘米）答：原直角梯形的面积是864平方厘米。解题后的思考：本题主要考查同学们思考问题的全面性，以及能不能运用所学知识來解决实际问题，在解题时我们首先要注意题A屮所给的己知条件，然后再找到它们之间的关联，进一步求出所求的问题。小结：通过本知识点的复习，使学生掌握空间与图形的一些基本知识，会利用手屮的工具进行作图。结合对空间与图形的回顾与整理的过程，培养学生运用知识解决问题的数学能力，渗透数学思想方法，提升学生的归纳总结能力。预习导学下节课，我们将进行分数、百分数应用题的复习请同学们预习以下内容1.如何求一个数的几分之几？2.怎样找到单位“1”同步练习（答题时间：45分钟） 1.填空。（1）线段冇（）个端点，射线冇（）个端点，直线冇（）个端点。（2）两条直线相交组成4个角，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是（）角，这两条直线叫做（）。（3）6时的时候，时针与分针组成的角的度数是（）？（4）一个等边三角形，从一个顶点起，用一条直线分成大小相等的两个三角形，其中一个三角形的内角和是（）。（5）阒的位置是由（）决定的，阒的大小是由（）或（）决定的。（6）把一个等边三角形沿一条高分开，分成的直角三角形的两个锐角的度数分别是（）和（）。（7）在一个等腰三角形中，一个底角是64°,算一算，顶角是（）。2.判断。（1）大于90°的角叫钝角。（）（2）角的两条边越长，角就越大。（）（3）钟表的分针旋转一周，时针旋转30°。（）3.选择。（把正确答案的序号填在括号里）（1）等边三角形是（）三角形。A.直角B.钝角C.锐角（2）有一些长3厘米，宽1厘米的长方形纸片，至少需要（）张这样的纸片才能拼成一个正方形.A.3B.4C.5D.6（3）一个三角形三个内角的度数之比是1:2:3,那么这个三角形是（）.八.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定4.算一算（1）在一个等腰三角形中，一个底角是54°,算一算，顶角是多少度。若一个顶角是54°,算一算，一个底角是多少度。（2）把一根一米长的圆柱形铁棒，锯成三段（每段仍是圆柱体）后表面积比原来增加了0.36平方分米。这根铁棒的横截面的面积是多少平方分米？（3）在一个直径为20厘米的圆内剪一个最大的正方形，正方形的面积占圆面积的几分之几？（4）在一个半径为5米的圆形花坛周围修一条宽2米的走道，走道的面积是多少平方米？试题答案空间与图形部分练习题1.填空。（1）线段有（2）个端点，射线有（1）个端点，直线有（0）个端点。（2）两条直线相交组成4个角，如果其中一个角是90°,那么其他三个角 是（直）角，这两条直线叫做（垂直线）。（3）6吋的吋候，吋针与分针组成的角的度数是（180°）（4）一个等边三角形，从一个顶点起，用一条直线分成大小相等的两个三角形，其中一个三角形的内角和是（180°）。（5）圆的位罝是由（圆心）决定的，圆的大小是由（半径）或（直径）决定的。（6）把一个等边三角形沿一条高分幵，分成的直角三角形的两个锐角的度数分别是（30°）和（60°）。（7）在一个等腰三角形中，一个底角是64°,算一算，顶角是（52°）。1.判断。（1）大于90°的角叫钝角。（X）（2）角的两条边越长，角就越大。（X）（3）钟表的分针旋转一周，时针旋转30°。（V）2.选择。（把正确答案的序号填在括号里）（1）等边三角形是（C）三角形。A.直角B.钝角C.锐角（2）有一些长3厘米，宽1厘米的长方形纸片，至少需要（A）张这样的纸片才能拼成一个正方形。A.3B.4C.5D.6（3）一个三角形三个内角的度数之比是1:2:3,那么这个三角形是（B）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.算一算（1）在一个等腰三角形中，一个底角是54°,算一算，顶角是多少度。若_个顶角是54°,算一算，一个底角是多少度。顶角：180°—54°X2=72°底角：（180°—54°）+2=63°（2）把-•根一米长的圆柱形铁棒，锯成三段（每段仍是圆柱体）后表面积比原来堉加了0.36平方分米。这根铁棒的横截面的面积是多少平方分米？解题思路：一根铁棒锯成三段多了4个横截面，表面积增加了0.36平方分米所以一个横截面的面积就是0.364-4=0.09（平方分米）答：这根铁棒的横截面的面积是0.09平方分米 (3)在一个直径为20厘米的圆内剪一个最大的正方形，正方形的面积占圆面积的儿分之儿？圆的面积：3.14X(20+2)2=314(平方厘米)正方形面积：20X10+2X2=200(平方厘米)正方形的面积占100面积的100-314=1^7答：正方形的面积占^11:1100积的@(4)在一个半径为5米的圆形花坛周围修一条宽2米的走道，走道的面积是多少平方米？解题思路：这道题求走道的面积就是求圆环的面积，大圆的半径就是小圆半径加上路宽即5+2=7(米)S=h(R2—r2)=3.14X(72—52)=75.36(平方米)答：走道的面积是75.36平方米。