排队论在图书馆的应用

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1、1随机向量x的协方差矩阵L一定是非负定矩阵显然，S是对称矩阵。设a是任意与x具有相同维度的常数向量，则aTa=a'E[(x-u)(x-uV】a=E[a'(x-u)】2>0,故IX)，即2.马氏距离不受变量计量单位影响，是一个无量纲的数值Y=Cx+b，其中C为p*p阶的非退化常数矩阵，b为p维常数向量证：Ly=V(y)=CV(x)C/=CLxC/oxx,x2经单位变换后为ypy2,即有ypCXi+b,y2=Cx2+b，于是(yi-y2)'^y1(yry2)=[(Cx1+b)-(Cx2+b)]/(CExC/)1[(Cx1+b)-(Cx2+b)]=(x1-x2)/C,C/-1Ex1C

2、1C(xrx2)=(x1-x2)Tx1(x1-x2).A5……3.设X是p维随机向量，A是np的实数矩阵，b是n维常数向量，则有V(AX+b)=AV(X>A'V(Ax+b)=E[(Ax+b)-(Au+b)][(Ax+bHAu+b)]z=AE[(x-u)(x-u)z]A#=AV(X)A#4.证明因子裁荷阵行元素平方和hi2=Zj=1maij2是公共因子对变垃的方差贡献vu)=ahV(fx)+4V(/2)+…+AV(A.)+V(€.)+i=l，2,…，p(8.2.10)令mA?=,i=l,2,…，p>-i于是9i=l，2,…，广(8.2.11)A?反映了公共因子对的影响，可以看成

3、是公共因子人，/2，…，八对X，的方差贡献,称为共性方差(communality);而#是特殊因子e.对工.的方差贡献，称为特殊方差(specificvariance)。当jc为各分适已标准化了的随机向量时，(Ti=1，此时有A?+o?=l，i=l，2，."，/>(8.2.12)5(1)(2)设XbX2……Xn是来自正态总体)<~11加,幻，5>0的一个简吊随机样本，又、S分别是样本均值向量和协方差阵。求证T2=n(x-u)n-1)由于孓和S相互独立，(〜1)51//〜1，2)，当™:u=u0为真时，^(5—w0)〜7Vp(0，[)。所以，按T2分布的定义，此时有72=z2(

4、x-M0),S'1(X-w0)=(z2-l)[7n(x-w0)],[(n-l)Sr1[7n(x-w0)]服从T26.若X~Np(u，Z)，试证u和S的极大似然估计是否无偏可知：E(X)=u,V(7)=丄［n£(x)=_y£(x.)=_yw=w,表明w=x是u的无偏估计nn并可推得—£{[[(xz-«)-(x-w)][(xz-u)-(x-u)]'}n=—£[V(xz-u)(Xi-uy-n(x-w)(x—w)’]nz=ii不是s的无偏估计，有偏的丄7•设x〜yvp(//，z),z>o,求证：np(q，ip)因此,y的协方差矩阵为：V(Y)=Xy=A^xAfU1^.1

5、_1><^*21^*22>k1_1>mrl1)(XA=<1-bkJ证明：记,=AXf+2

6、

7、+2(7p+C7”0、又因为x〜yv2(//,z),所以，其线性函数r也服从2元正态分布。根据正态分布的性质得，｝;与匕的协方差等于零，说明^:与匕不相关且相互独立。8.设X〜Np(u,Z),Z〉0,求证：(X-u)T'^x-urx^p)令y=571/2(x-u),于是y~Np(0，I)，由12知yl，y2yp独立同分布于N(0，l)，所以由卡方分

8、布知(x-m),Z_1(x-u)=yfy=y^+y+…+乂〜Z2(P)1〜yv(%p-1p<"2>/9.设X试证：从+Z12S^(X2-//2)与'的相关系数达到最大值。由复相关系数的定义知，1与(X2，X3,…，X」的线性函数戊2间的最大相关系数称为1与(％2,％3,…，X)的相关系数(multiplecorrelationcoefficient),记作/?b2...P2，.'p—cov2(x”rxV(x1)v(x2)由柯西-许瓦茨不等式知，当/=时，与以2，，…，的线性函数间丄的最大相关系数最大，为：P2,-,p~Cov2(X,XX^V(X,)V(X2)又因为，

9、与z12z>2只相差一个常数项所以,//,+ZI2Z；2(x2一//2)与Xj0关系数达到最大值。10.证明：第一主成分的方差具有最大值。证明：设T为任一mXm正交矩阵，令A*=Ar，/*=77,则正交因子模型表示为：X=/j+Af+e因为£(/*)=r£(/)=0V(f)=TV(f)T=ICov(fe)=T'Cov(f,e)=0所以X=//+，.<+£仍能满足正交因子模型的条件，也是一个正交因子模型，且有z=a'/T+z)因此，因子载荷矩阵A不是唯一的。11.证明因子载荷阵不具有唯一性