排队论在食堂系统中的应用

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1、班级:姓名:学号:排队论在食堂系统中的应用每次下课的时候，同学们都争相跑向食堂去买饭，卖饭窗口前没一会儿便排成了长长的队伍，食堂也立即变得拥挤不堪。学生食堂的卖饭窗口个数和同学们吃饭的方便程度有关。窗口太少，吃饭高峰期同学排队等待时间很长,经常引发学生的不满情绪。而窗口太多，又会造成资源浪费，增加食堂成本。为此，我选择了学生食堂二楼作为研究对象来分析这个问题，看能否为食堂合理设置服务窗口提出建议，在这两者之间进行权衡，找到最佳的窗口数量。食堂窗口与就餐人员之间是服务机构与顾客的关系，可以用服务系统模型来表示，就餐人员打饭的过程，即为顾客接受服务

2、机构服务的过程。顾客排队时间等待服务服务时间接受服务故可以用排队论模型中有关服务系统的理论来分析和解决该问题。学生到食堂就餐的时刻可以认为是随机的，若用N(t)表示[0,t)时间内到达该服务系统的顾客数，则对于任意一个给定的时刻t,N(t)的值都是随机的，即随机变量族{N(t)

3、t∈[0,A)}是一个随机过程.同样,打饭需要的时间长短因人而异，也认为是随机的，若用V(n)表示第n位顾客所需的服务时间,则有随机变量族{Vn,n=1,2,…}。我们将学生就餐的过程看作是泊松过程进行讨论。为了使模型便于求解，假定每个工作人员的打饭效率相同，每个窗口的

4、饭菜相同，即不会出现某个窗口“扎堆”排长队或无人问津的现象。由于每个窗口独立排队、服务,这里把m个窗口服务X位顾客的情况等同为1个窗口服务情况来讨论.又假定食堂服务系统的容量无限,来到食堂就餐的学生不会在未打好饭之前离去.这样,得到一个输入过程为最简单流,服务时间为负指数分布,1个服务台,系统容量无限,顾客源数无限的等待制排队模型.这里,对有关符号的数量指标加以说明:λ——单位时间内平均到达的顾客数,即平均到达率;μ——单位时间内受到服务的顾客数,即平均服务率;t——每位顾客的平均服务时间;Lq——等待队长的期望值;Wq——等待时间的期望值.现

5、对食堂二楼的4个服务窗口进行讨论:在11:40至12:20之间的40分钟为大家用餐的高峰,每4分钟为1个时段,统计到达人数,如下表.时段12345678910到达数95103119133149137113886847求得平均到达率为:λ=5.94(人/分钟)相应地,对其中50名顾客接受服务的时间进行统计,得到下表.时间(秒)0～55～1010～1515～2020～2525～30人数2358311求得平均服务时间为:t=0.157(分钟)平均服务率为:μ=1/t=6.37(顾客/分钟)等待队长的期望值为:Lq=12.88(顾客)等待时间的期望值为

6、:Wq=Lq/λ=2.17(分钟)由上述模型求出的平均服务时间为9.4秒,这与实际情况大体吻合;等待队长的期望值为12.88人,明显偏长,但实际上,高峰期往往排队会更长些,这主要是因为在高峰期,用餐人数比闲时明显增多,且持续时间较长;相应地,现实中高峰期的等待时间也比求得的平均等待时间(2.17分钟)要久.另外,实际上并不是每个窗口的饭菜都一样的,存在个别窗口很受欢迎或不受欢迎的情况,造成该窗口前的排队明显过长.就餐人员排队时间过长,自然会产生不满情绪。相应地,在就餐人数较少时,单位时间到达的顾客数明显少于单位时间工作人员所能服务的人数,造成资

7、源浪费,增加了食堂的成本.因此,该食堂的窗口设置尚不够合理.现从就餐人员排队时间过长引起不满和食堂资源浪费增加成本两个方面来考虑改进窗口设置.11:40前,3个窗口即可;11:45应开放4个窗口;11:55应开放5个窗口,以防止出现排队过长的现象;直到12:15再减少为4个窗口,至此时,5、6、7时段排队的就餐人员已经服务完毕;12:20后只需2个窗口即可.调整后,各时段能够服务人数和需要排队等待人数如下表.（该表显示了不同时段的窗口数以及服务情况）时间←11:40←11:45←11:5512:15→12:20→窗口数344454时段11:44

8、→11:48→11:52→11:56→12:00→12:04→12:08→12:12→12:16→12:20→服务76.44101.9101.9101.9127.4127.4127.4127.4127.450.96排队003.0816.086.619.68.6000这里做出说明,大约到11:58,到就餐人数的才达到5个窗口能够服务的人数,按平均服务时间来算,11:45至11:48之间的3分钟时间内,5个窗口的服务能力有剩余,完全能够完成之前排队人员的服务.窗口调整后的等待时间(和部分取最大值)仅为调整前(2.17分钟)的一半:(6.6+19.6

9、+8.6)/5×0.157=1.09(分钟),改进的效果十分明显.对于食堂的运营成本,其它因素不变的情况下,这里只讨论人力部分.该食堂11:30至12