复变函数考试要求与知识点

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1、复变函数考试题型与基本要求考试题型:四、共15分）共15分）共42分）共28分）单选题（每题3分，填空题（每题3分，计算题（每题7分，解答题（每题7分，第一章、复数与复变函数（作为基础内容后面应用）1、熟练掌握复数的定义及三种表示法；2、熟练掌握复数的一些相关概念及性质（例如模、辐角与主辐角，复数的共轭等）；3、熟练掌握复数的基本运算（四则运算、乘幂和方根）；4、熟悉复平而上几种曲线的表示法：(1)圆周方程C:

2、Z-6Z

3、=/?（2）圆的方程尺（3）曲线的参数方程:z=z（Z）=x（t）+y{t）i,a

4、接点4和22的直线段方程为2=2,+（22-2）,0

5、程法（2）化为实分析中第二型曲线积分（3）利用柯西积分公式（4）利用无穷可微性定理（5）利用复合闭路原理（6）利用柯西留数定理（较方便）3、熟练掌握判断二元实函数为调和函数的方法，并能由＜%，＞，）求v（x，y），使/(z)=w(x,y)+v(x,y)i解析（1）利用偏微分方程的方法（较简单，分两次求不定积分）（2）利用线分析取折线的方法（类似于数分中路径无关性时原函数的求法）第四章、解析函数的幂级数表示法（作为基础内容后面应用）1、熟练掌握幂级数中收敛半径和收敛圆的求法（注意圆心不在原点时的情形怎么处理）2、熟记几类初等函数的展开式及收敛范围（间接展开时经常用到

6、，同时能掌握由定理4.16求收敛半径的方法）3、掌握解析函数零点定义及判断方法：（1）定义法（2）定理4.17第五章、解析函数的洛朗展式与孤立奇点（约17分）1、熟练掌握解析函数在圆环域及孤立奇点去心邻域内的洛朗展式（考题中会给出具体的范围）（尽量不用级数乘积或和的表达式，需耍写出具体式子）2、熟练掌握奇点类型的判断，包括无穷远点，极点写出其阶数（需要写出过程）奇点孤立奇点非孤立奇点有限奇点z=a在奇点处的函数极限为在奇点处的洛朗展式中函数若干个奇点的聚点(在非孤立奇点的去心邻域内没有洛朗展式)可去奇点有限值无负幂项极点无穷m项负幂项本质奇点不存在无穷项负幂项无穷

7、远点Z=oo同上同上改为正幂项第六章、留数理论及其应用(约20分)1、理解留数的定义及留数定理2、熟练掌握有限奇点处留数的计算(重点是极点)(1)z=“为函数/⑵的一阶极点时Re^=lim(z-6f)/(z),具体有z=a①=-,Res=炉⑷；z-az=a②，(z)=迦，Re5=^^-/i(z)2=«h(a)(2)z=“为函数/⑵的可去奇点时Re、’=0z=a(3)z=6/为函数/(z)的本质奇点时Res=C_,z-a3、利用留数计算第三类积分，B

8、J1=r^Le^dx2(x)(注意此积分包含两个实积分，l=l^l2,考试中一般只要求计算对应的实部或虚部）J-~e

9、（x）4、了解辐角原理的内容及应用（借助零点和极点个数求函数沿周线的辐角变化）5、理解并能熟练运用魯歇定理判断方程根的个数及范围6、了解对数留数定义及引理6.4内容。