常微分方程论文

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1、ZHEIIANGNORMALUNIVERSITY《关于常微分方程解法的探究》班级：数学与应用数学131学号:13190122姓名：丁延辉曰期：2016年5月25号摘要常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。并且常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。因此，由实际问题列出微分方

2、程后，其解法非常关键，微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。关键词：微分方程降阶法变量代换法齐次型一阶线性1一阶微分方程1.1变量可分离的微分方程形如孚•=/(柳(7)(1)dx的方程，称为变量分离方程，/(X)，p(y)分别是X，＞，的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果例y)#0,我们可将(1)改写成dyf(x)ebc这样变量就分离开来了.两边积分，得到C为任意常数.由该式所确定的函数

3、关系式＞，=＞，(x，c)就是常微分方程的解.例1:求解4=的通解。dx解：丄办=2xdxJ—dy=J2xclxln

4、y

5、=x2+q—通解：y=土，+C

6、=1.2齐次型微分方程(变量代换的思想)一阶微分方程可以化成4=的形式dxx求解：dy_dudxxJx+u—>—x+u=/(w)—du=—dx(可分离变量)4通解dxdxdxf{u)-ux例2:解方程/+分座企=xydxdxy2+«¥2李=李4〔1)+—=---——>w"Hx+w=udxdxdyydy—=dxxdx^dudxdu、——x+udxdudx

7、uxdu——dxxdu=I—dxw-ln

8、w

9、=ln•X二Vu-c}—>wx=c，euy=iix,y=c，exIny=—+cx1.3—阶线性微分方程字+厂(小=0ax+C1称为一阶齐次线性微分方程若dy—+p(x)y=ty(x)(g(x)关0)dx称为一阶非齐次线性微分方程。一阶非齐次微分方程的通解等于对砬的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。解字”(小=0ax的通解如下：可分离变量的一阶微分方程♦+p(x)y=0+丄办=--p^x)clxln

10、y

11、=-Jp(x)€Zr+c,―>

12、y

13、=c2edxy■

14、JpW*'iMdx(齐次方程通解)采用积分因子法求的一个特解如下盖+小)产心)…Wdydx+p(x)y•Jp{x)dxdx+cJp(x)dx•••—+p(xy=q(x)(t/(x)0)dx的通解为:1.4伯努利方程形如：—+p(x)y=g(x)/dxy可分离变量微分方程当M=0时，^y^p(x)y=q(x)一阶线性微分方程dx求通解过程：字+/?(%))’=q(x)yf,广字+小)广=q(x)dxdx1-/7dz+(l-z?)p(x)y]~n=(1-Z7)^(x)作变量代换z=)，I-//47+(1-打)

15、尸(又)广=(1-打hWdx2.高阶微分方程的降阶法(以二阶为例)二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程，求高阶微分方程通解的方法成为降阶法2.1,=/(x)型：解法：连续积分n次。•••，=(，_"/=/(X)•••y(w-°=J/WtZr+C,•••y(,l~2*=J(Jf^dx+C^dx+C^:.y=J(•••(J(Jf{x)dx+C,)dx+C2)dx---)djc+Cfl2.2r=/(x，jO型解法：因变量换元：P=:/，降阶力/=/(%，p)。若得解则则y(x;C,,C2)=J(p(x;C,)

16、tZr+C22.3r=，(y，”型解法：做因变量及自变量换元:新因变量/7=字，新S变量y，则/=4(字)=字•字dxdxdxaydx=/?字，原方程降阶为P字=/(＞，/?｝若得其解为/7=识()，；(^，则字二糾^)，ayayax原方程通解为f办=x+C，.〜()’;C】)'2.4二阶线性微分方程解的结构形如：+奈+《(x);y=，(x)若/(x)EO时，力l+p(x)佥切(x)v=O(方程一)称为：二阶线性齐次微分dx"dx方程。若；»0时，^+p(x)^+t7(x)y=/(x)(方程二)称为：二阶非

17、齐次微分方程2.4.1二阶线性齐次微分方程解的结构定理1:如果函数)办)与是(方程一)的两个解，贝ijy=c,y｝⑺+C2)’2(x)也是(方程一)的解，其中C,，C2是任意常数.定理2:如果＞，知)与jv2Cx)是(方程一)的两个线性无关的特解，贝IJy=Ciyi(x)-^C2y2(x)就是(方程一)的通解，其屮CPC2是任意常数2.4.2二阶线性非齐次微分方程解的结构定理3设/是(方程一)的一个特解，而r是其