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1、安阳师范学院安阳师范学院本科学生毕业论文一阶常微分方程初等解法作者田丰系（院）数学与统计学院专业数学与应用数学年级2010级学 号 100801066 指导教师 李波论文成绩 日 期 2014年5月10日安阳师范学院学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明
2、并表示了谢意.签名： 日期： 论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名： 导师签名： 日期：安阳师范学院安阳师范学院一阶常微分方程初等解法田丰(安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳100801066)摘要:文章对一阶常微分方程运用变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法进行了归纳与总结,同时结合例题演示了常微分方程的求解问题。关键词:一阶常
3、微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子1引言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新
4、性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等.微分方程里各项的次数，其实说的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数但是一般接触到的有解析解的微分方程都不会超过1次，所以齐次一般指的就是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数为1也就是说方程各项中必须出现且只出现单独的y，y'，y''，y'''……，而不出现它们的平方、n次方，也不出现它们互相相乘，也不出现常数项（次数为0）其中的常见的求解一阶微分方程有：一般变量分离；齐次微分方程，；常数变易（伯努利微分方程）；恰当微
5、分方程及积分因子法这些都是常见的解法常微分方程的研究还与其他学科或领域的结合而出现各种新的分支,如控制论、种群分析、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程等.总之,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要.因此本文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析,同时结合例题,展示了初等解法在解题过程中的应用.2一阶常微分方程的初等解法安阳师范学院2.1变量分离法2.1.1一般变量分离法,的方程,称为变量分离方程,,分别是,的连续函数.这是一类最简
6、单的一阶函数.如果,我们可将改写成,这样,变量就分离开来了.两边积分,得到.这里我们把积分常数明确写出来,而把,分别理解为,的原函数.常数的取值必须保证有意义,如无特别声明,以后也做这样理解.因式不适合情形.但是如果存在使,则直接验证知也是的解.因此,还必须寻求的解,当不包括在方程的通解中时,必须补上特解例1求解方程解将变量分离,得到,两边积分,即得,因而,通解为.安阳师范学院这里是任意正常数,或者解出,写出显函数形式的解.例2求解方程,的通解,其中的连续函数解将变量分离,得到,两边积分,即.这里是任意常数.由对数定义,有,即,令,得到,
7、此外,显然也是方程的解,如果允许中允许则也就包括在中,因而的通解为,其中为任意常数2.1.2用变量分离解齐次微分方程2.1.2.1用变量分离法解齐次微分方程类型一形如,的方程,称为齐次微分方程,这里是的连续函数.作变量变换安阳师范学院,即,于是.代入原方程可得,整理后,得到.因是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可得到原方程的解例3求解方程解这是齐次微分方程,以代入,则原方程变为即.将上式分离变量,既有两边积分,得到.这里是任意常数,整理后,得到=得到.此外,方程还有解.安阳师范学院如果在中允许,则也就包括
8、在中,这就是说,方程的通解为带回原来的变量,得到方程的通解为例4求解方程（）解将方程改写为,这是齐次微分方程.以代入,则原方程变为分离变量,得到两边积分,得到的通解即当时,.这里c时任意常数.
