资源描述：
《常微分方程实验论文.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2016-2017学年度第一学期《常微分方程》课程实践姓名：学号：专业：班级：成绩：目录摘要：木文主要介绍了常系数线性微分方程的解法。由于在讨论常系数线性微分方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复值数函数问题，然后,本文又通过构造特征方程运用代数运算分情况给出常系数齐次线性微分方程的具体解法，并引出可以化为此方程形式的欧拉方程。有了前而讨论的结果，对于常系数非齐次线性微分方程可以采用常数变易法，而是介绍具有某些特殊形式的非齐次线性微分方程的解法，即比较系数法。1关键词：欧拉待定指数函数法（特征根法）欧拉方程比较系数法1引言：常系数性微分方程因形式简单
2、，应用广泛，解的性质及结构研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。…••…11欧拉待定指数函数法（特征根法）1（1）特征根为单根的情形2（2）特征根有重根32欧拉方程42」定义:一般地形如兀"今+。广牛J+…+%丿芈+4axdxdx2.2特点：y的k阶导数的系数是x的k次方的常数倍.2.3解齐次欧拉方程的步骤43比较系数法5参考文献：8常系数线性微分方程的解法摘要：本文主要介绍了常
3、系数线性微分方程的解法。由于在讨论常系数线性微分方程的解法时，需耍涉及实变量的复值函数及复值数函数问题，然后，本文乂通过构造特征方程运用代数运算分情况给出常系数齐次线性微分方程的具体解法，并引出可以化为此方程形式的欧拉方程。有了前面讨论的结果，对于常系数非齐次线性微分方程可以采用常数变易法，而是介绍具有某些特殊形式的非齐次线性微分方程的解法，即比较系数法。关键词：欧拉待定指数函数法（特征根法）欧拉方程比较系数法引言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，
4、只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。1欧拉待定指数函数法（特征根法）dnXrdx1・1一般的形如L[x]=—+r+++=o,其中dtndtn1dtarZ”“，a”为常数。我们称该方程为n阶常系数线性微分方程。为求得该方程的通解，我们先利用欧拉待定指数函数法（特征根法）求其基本解组.dx1.2-阶常系数齐次线性微分方程~=有通解兀=。/,其中2是待at定常数，可以是实的，也可以是复的。把x=代入方程L[x]=0得L[eAl]=(r++a2An-2+…+%久+%)/=
5、0因此,/成为方程解的充要条件为：2是代数方程F(2)三*+坷*」+a2r~2+…+an_^+色=0的根,方程F(久)三2"+a〕2"J+a2^n~24卜+d”=0称为方程L[x]=0的特征方程，它的根称为特征根.(1)特征根为单根的情形设人,易,…,人是特征方程F(A)=0的n个互不相同根,则对应方程L[x]=0有n个解0,0,・・・,0,这n个解在区间[a,b]上线性无关，从而组成方程L[x]=0的基木解组.%1若&•(心1,2,…力)均为实数，0,是方程L[x]=0的n个线性无关的实值解，则方程L[x]=0的通解为兀⑴—C]/'+c2e；ltH,其
6、中Cj,c2,•••,cn为任意常数.%1若如21,2,…肋中有复数，则因方程的系数是实常数，复根将成对共辘出现.设人=。+询是特征根，则^=a-i/3也是特征根，则方程相应地有两个复值解：e(a+〃"_eat(cospt_
7、_isinpt)e(a-力"_eat(cospt-isinpt)Anx〃"一Lfix由定理：如果方程+&(f)J严+…+an-⑴壬+d”⑴尤=0中所有系数4(00=1,2…,比)都是实值函数，而z(t)=(p(t)+是方程的复值解,则z(r)的实部卩⑴和虚部肖⑴以及z(r)的共轨z(r)也都是该方程的解.由此我们可以知道它们的实部
8、和虚部也是方程的解.故方程的两个实值解为：严cos0/0’sin0》（2）特征根有重根设特征方程有k重根兄=人，则有FW=尸（人）=・・・=F（i⑷=0,F⑻⑷工0%1若人=0,则特征方程有因子/,因此陽=色一严…=色*严0,则特征方程有如下形式：*+帝"+…+%川=0,而对应的dnxdn^xdkx方程L[x]=0变为乔+坷莎丁+…+%'匸=°显然它有k个解l,r,r,•••?-',且它们线性无关，从而可得：特征方程的k重零根对应方程厶国=0的k个线性无关解为1仏八,・・・・.%1若人工0,我们做兀=肖石，并代入方程L[x]=o,经整理得到L[ye^】=
9、4+b与+•••+仇刃0三厶[刃0，于是方程L[x]=0就转atat化为厶[刃=
