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1、工程矩阵试卷东南大学考试卷（A卷）课程名称适用专业工程矩阵理论工科研究生考试学期考试形式14-15-2得分闭卷考试时间长度150分钟自？11?2X22X2—.（20%）设1/1=??。在线性空间C上定义变换f如下：对任意xec，觉遵守考场纪律如考试作弊此答卷无效？22?f（X）=XM。1.证明：f是C2X2上的线性变换。2.求f在C2X2的基E11,E12,E21,E22下的矩阵A。3.求f的特征值及各个特征子空间的基。4.问：是否存在C2X2的基，使得f的矩阵为对角阵？如存在，请给出这样的一组基及相应
2、的对角阵；如不存在,请给出理由。（10%）己知矩阵A=??1011??1100?,?R4的子空间W={xER4
3、Ax=0}。1.求W在R4中的正交补空间W丄的一组基；求向量n=(lAO,O)T在W丄中的正投影。(12%)设V是n维欧氏空间，nevM=,a,b是实数。V上的线性变换f定义如下：对任意xEV,f(x)=ax?b<x,n>ri。问：当a,b取何值时f是V上的正交变换？？?0000??ab26?(21%)设矩阵A=??10?10?013???1120???,B=?0?00cd??。?2
4、221????0001??l.求A的若当标准形，并给出A的最小多项式。2.将AeAt表示成关于A的次数不超过2的多项式。3.问：若A,B相似，参数a,b,c,d该取什么值？?0101?+??五.(12%)求矩阵A=0102的广义逆矩阵A。???0101???六.(25%)证明题R(f),K(f)分别表示f的值域和核1.设f是数域F上n维线性空间V上的线性变换，子空间。证明：R(f>=V的充分必要条件是K(f)={9}。分块矩阵M=?2.已知矩阵A,B,?A0?若矩阵2范数M?。OB??F=AF,证明：B=
5、OoHH3.设n维列向量nl,n2相互正交，且都是单位向量，矩阵A=nlnl+2n2n2o证明：A的广义逆矩阵A=I]1Ill++H12n2H。24.设A,B是同阶Hermite矩阵，并且,A+B,A?B都是正定的，证明：分块矩阵?AB???也是正定的。BA??4.设A,B都是nXn矩阵，并且A是半正定的。若AB=BA。证明:AB=BA。♦工程矩阵理论♦试题一♦答案仅供参考♦试题一一.(15%)填空题.1.?的子空间V={(x,y,z)
6、x+y-z=0}的一组基是.解:(x,y,z)?V?x+y.z=0?
7、x=-y+z?(x,y,z)=(-y+z,y,z)=y(-l,1,0}+z(l,0,1),其中(-1,1,0),(1,0,1)是V中线性无关的向量,可见V的一组基是(-1,1,0),(1,0,1).3?12?,贝Uf在基a+b,a-b下的矩阵是+2.若线性空间V的线性变换f在基a,b下的矩阵是?624?解:(a+b,a-b)=(a,b)??ll?el-U?.f(a,b)=(a,b)??12?e24+?.f(a+b,a-b)=f(a,b)??ll?el-l+?=(a,b)??12??ll?e244-??el
8、-l4-?=(a+b,a-b)??ll?-l?12??ll??9/2-3/2?el-l4-??e24^??el-l4-?=(a+b,a-b)?色-3/21/2+?.可见则f在基a+b,a-b下的矩阵是??9/2-3/2?e-3/21/24-?.3.如果r?n矩阵A满足A2=A,并且A的秩为r;则行列式
9、A+2I解:如果n'n矩阵A满足A2=A,即A(A-I)=O,可见A的极小多项式没有重根，而且特征值只可能是0或1.又因为A的秩为r;所以A相似于对角阵??IrO?eOO-?.n-r?从而A+21相似于对角
10、阵??IO??3lrO?eOrOn-r+?+21=?dO2ln-r+?.故
11、A+21丨=31OrO21=3r2n-r.4.若矩阵A=??17?692+?,则矩阵函数eA的行列式
12、eA解：
13、II-A
14、=1-1-7-91-2=12-31-61=(1-11)(1-12),其中11112,故存在可逆阵P使得P-1AP=??1e010?124-?=L,于是P-leAP=eL=??ellO?eOev?,
15、eA
16、=
17、P-leAP
18、=ellel2=ell+l2=etrA=e312.4.若3是门维单位列向量,A=l+kaa
19、H是正定的，则参数k满足条件解：将a扩充成£n的一组标准正交基:a=(1,,a2,…,an,并且令Q=(a,则QHQ=I,aHQ=(l/0,0),QHaO,0)H,?0QHAQ=QH(I+kaaH)Q=l+kQHaaHQ=?l+k?01LL0?+POMeOMOOLlM-r,+?故A正定？QHAQ正定？1+k>0?k>-1.张小向@seu1♦工程矩阵理论♦试题一♦答案仅供参考♦?123??100?二.(12%)设矩阵
