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1、抛物线问题解决中的一些技巧抛物线是三大圆锥曲线之一，在高考中占有重要的地位。求解抛物线问题我们应掌握一些解题的技巧，从而使得我们的解题更简洁、思路更清晰。一、正确选用标准方程例1、求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点P（-2,-4）的抛物线的标准方程.解：由题意，抛物线有两种情形：（1）设抛物线y2=2px（p〉0），将P（-2，-4）代入得=故标准方程为y2=;（2）设抛物线x2=-2py（P〉0）,将巧-2，-4）代入得P=丄，故标准方程为x2=-y.所以满足条件的抛物线的标准方程为/=-8
2、xx2=-y.点评：求圆锥曲线的标准方程，关键是确定类型，设出方程，待定系数法是常用方法之一。本题应结合阁形，分析出两种情形，避免漏解。练习1:已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，-3）到焦点距离为5,求m的值。解：设抛物线方程为A：2=-2Py（p〉0）,准线方程：y=j•.•AM到焦点距离与到准线距离相等，.5=
3、-3
4、+^,解得：p=4,•••抛物线方程为x2=-8y。把代入得：m=±2^。二、合理使用定义例2、己知点P（3,2）在抛物线＞，2=4x的内部，F是抛物线的焦
5、点，在抛物线上求一点使
6、MP
7、+
8、MF
9、S小，并求此S小值.•A/解：过M作准线/的垂线M4,垂足为则由抛物线的定义有11•■■•詞、MF=MA....+MF=MP+MA,0vx显然当AM，＞4三点共线时，
10、MP
11、+
12、MF
13、S小.i此时，M点的坐标为（1,2）,最小值为4.点评：抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离（动点到焦点的距离与动点到准线的距离）的互化.在解题屮，应正确合理地使用定义，同时应注意“看到准线想焦点，看到焦点想准线”。练习2:已知动点M的坐标满
14、足方程=则动点M的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对离等于它到原点（0,0）的距离。由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0,0）为焦点，以直线3x+4y一12=0为准线的抛物线。故选C。三、设而不求例3、是否存在同吋满足下列两条件的直线/:（1）/与抛物线/=8x有两个不同的交点A和B;（2）线段AB被直线x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线/的方程.解:假定在抛物线上存在这样的两点＞，,），B（x2,＞，2）.则有8(>i+>2)=SX1(乂”2)()
15、W2)=8(A-A)=>‘*.*线段AB被直线:x+5y-5=0垂直平分，且=一HII88即7—-—-=5^y,+y2=-.（乂”2）5=—.代入x+5y-5=0得x=l.于是:4其方程为••JV——=5(x—1),即设线段AB的中点为^0）,贝!AB屮点为故存在符合题设条件的直线，25x-5y-21=0,此时判别式大于0。点评：涉及弦中点（中点弦）问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系，灵活转化，往往就能
16、事半功倍。应注意验证判别式。练习3:己知抛物线＞，2=-8x的弦PQ被点小-1，1）平分，求弦所在的直线方程.解：设pq的端点乃），eu2,y2）,则有，两式相减得（y,+y2）（y-y2）=-8（x,-x2）,A^^=-4,即）^=-4.故弦P0所在的直线方程为y-i=-4（x+1））’i2=y22=為，即4x+），+3=0.四、运用向量例4、过抛物线/=2/u的焦点的一条直线L和此抛物线相交，两个交点A、B的坐标为（x,，y,），（x2,y2）,求证：），2=-p2。222p2证明：由于•（、-
17、＞）=（念-fWS=（x2-f，y2）=（念-晉，y2）则弦AB通过焦点FGE4与共线2p2£1._n_n2>=o<=>2p（｝V2+P^）=o<=>3V12=~P故弦AB通过焦点F的充要条件是yiy2=-p2o点评：合理构建向量，运用了向量共线的充要条件，从而证得结论。本题也可巧没方程L：x=my+—,你也可试一试。练习4:过抛物线＞，2=2/u（p〉0）的焦点F的直线与抛物线相交于AB两点，自AB向准线作垂线，垂足分别为A',求证：ZAW=90°.证明：抛物线的焦点Ff,0,设AB两点的纵坐标分
18、别为外y22易得=—P2.又），A打’夕2则M’=（-/?，y'），FB'=（-p，y2），故FA’.FB'=/?+%y2=/?2-p2=0，则玩丄兩，即ZA'FB'=90°.五、一题多变，多题一解例5、过抛物线y2=2/zY的焦点的一条直线L和此抛物线相交，两个交点A、B的纵坐标为），P），2，求证：.v,y2=-p2。变式探究：（1）求证：=—~4（2）（逆命题）一条直线L和抛物线y-=2px相交，两个交点A、B的纵坐标为y,,,且｝7,＞’2=-P
