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1、抛物线问题解决中的一些技巧抛物线是三大圆锥曲线之一，在高考中占有重要的地位。求解抛物线问题我们应掌握一些解题的技巧，从而使得我们的解题更简洁、思路更清晰。一、正确选用标准方程例1、求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并旦经过点P(-2,-4)的抛物线的标准方程.解：由题意，抛物线有两种情形：(1)设抛物线寸=2河“>0),将P(-2,-4)代入得p=4.故标准方程为)咨_裁；(2)设抛物线x2=-2py(p>0),将P(-2,-4)代入得p=-,故标准方程为尸=一),.所以满足条件的抛物线的标准方程为=_8x或y=_y.点
2、评：求圆锥曲线的标准方程，关键是确定类型，设出方程，待定系数法是常用方法之一。本题应结合图形，分析出两种情形，避免漏解。练习1：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(仞3)到焦点距离为5,求m的值。解：设抛物线方程为f=-2py(p>0),准线方程：)，=¥.・•点M到焦点距离与到准线距离相等，.・.5=
3、-3
4、+贝，2解得：p=4,.・・抛物线方程为J=_8y。把M(7?7,-3)代入得：m=±2a/6o二、合理使用定义例2、己知点P(3,2)在抛物线>2=4、的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一
5、点财，使MP-vMF最小，并求此最小值.解：过必作准线/的垂线AM,垂足为A,则由抛物线的定义有MF=MA.?.MP+MF=MP+MA,显然当RM,人三点共线时，
6、MP
7、+
8、MF
9、最小.此时，M点的坐标为(1,2),最小值为4.点评：抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离(动点到焦点的距离与动点到准线的距离)的互化.在解题中，应正确合理地使用定义，同时应注意“看到准线想焦点，看到焦点想准线”。练习2：已知动点M的坐标满足方程5j'+J=
10、3』+"-12
11、,则动点m的轨迹是
12、()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对解：由题意得:
13、3七4伊72
14、序由，即动点"3刃到直线3工+4》-12=0的距离等于它到原点（0,0）的距离。由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0,0）为焦点，以直线3x+4y-12=°为准线的抛物线。故选C。三、设而不求例3、是否存在同时满足下列两条件的直线/：（I）/与抛物线/=8x有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线/,：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线/的方程.解：假定在抛物线寸=81上存在这样的两点人（斗帛，B（x2,
15、力）•则有I2一：*=＞（乂+力）（乂f）=8（Mf）=＞蠕=头卫寸=厂宇5〔力=8易3一易）（乂+力）..•线段AB被直线4：x+5y-5=0垂直平分，且勺=—,/.kAB=5,口〃88即—=5=＞乂+力=£.（凹+力）5设线段AB的中点为必3°,），°）,则），0=峙四=?.代入x+5y・5=O得x=l.于是:4AB中点为A/1,三.故存在符合题设条件的直线，其方程为：y--=5（x-），即25x—5y—21=0,此时判别式大于0。点评：涉及弦中点（中点弦）问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中
16、点坐标联系起来，相互转化C同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系，灵活转化，往往就能事半功倍。应注意验证判别式。练习3：已知抛物线_V2=-8x的弦PQ被点火-1,1）平分，求弦地所在的直线方程.V_—Qy解：设PQ的端点P（和y,）,0易，力），则有1，=-8x2,两式相减得（凹+力）（）'
17、一＞2）=一8（工
18、一沔），・..M2l=_4,即#=一4・故弦PQ所在的直线方程为尸1=-4（、+1）,即4x+y+3=0.四、运用向量例4、过抛物线y2=2px的焦点的一条直线L和此抛物线相交，两个交点A、B的
19、坐标为（叫，凹）,（易，）‘2），求证：=~P~°i正明：由于FA=(X］—f,〉］)=0^-一5，>1)，五3=(>2—。〉2)=(会一5>2),22p222p2则弦AB通过焦点F«E4与旬共线"2p2){2p2；2p故弦AB通过焦点F的充要条件是yiy2=-p2o点评：合理构建向量，运用了向量共线的充要条件，从而证得结论。本题也川■巧设方程L：x=〃?)‘+§,你也可试一试。练习4：过抛物线y2=2px(p>0)的焦点尸的直线与抛物线相交于AB两点，自AB向准线作垂线，垂足分别为A',B，,求证：ZA，FB'=90
20、。・证明：抛物线的焦点展乙。］，设A8两点的纵坐标分别为凹，必，27易得)>2=_「2•又A，―?，>，B'―?,y2,27IZ7则E4'=(—p,)),FB'=(—p,y2),故E4'・F8'=p，+乂力=p2-P‘=。，则丽上而,即匕4字矿=90。・五、一•题多变，多题一解例5、过抛物线y2=2px的焦点的一条直线L
