09年全国数学竞赛赛区赛试卷及答案.doc

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1、首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（非数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.题号一二三四五六七八总分满分205151510101510100得分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效。2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。一、填空题（每小题5分，共20分）（1）计算_____________，其中区域D由直线x+y=1与两坐标轴所围三角形区域。（2）设f(x)是连续函数，满足，则_____。（3）曲面平行平面2x+2y−z=0的切平面方程是____。（4）设函数y=y(x)由方程确定，其中

2、f具有二阶导数，且，则=_________________。答案：，，，。二、（5分）求极限，其中n是给定的正整数。解：原式==………………….….…（2分）其中大括号内的极限是型未定式，由L′Hospital法则，有于是原式=…….…..…………………………….………………（5分)三、（15分）设函数f(x)连续,，且，A为常数，求并讨论在x=0处的连续性。解：由题设，知f(0)=0，g(0)=0.…………………………….…………...（2分)令u=xt，得，.…………………………….…………（5分）从而.…………………………….…………(8分)由导数定义有.…

3、………………………….………….(11分)由于，从而知在x=0处连续.…………………………….…………...…...(15分)四、（15分）已知平面区域，L为D的正向边界，试证：（1）；（2）.证法一：由于区域D为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.(1)左边=,...…...…...…...…..(4分)右边=,……..…...……..（8分）所以,..………………………(10分)(2)由于，…….…………………….…….…...(12分).……..…….…..…….…(15分)证法二：（1）根据Green公式，将曲线积分化为区域D上的二重积分………

4、……………………..….....(4分)……………………………………(8分)因为关于y=x对称，所以=,故.……….……….………….…(10分)(2)由..…….……….………….……….……(15分)五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。解：根据二阶线性非齐次微分方程解的结构的有关知识，由题设可知：与是相应齐次方程两个线性无关的解，且是非齐次的一个特解。因此可以用下述两种解法….……………………………………….…………………………(6分)解法一：故此方程式……..……..…………..……..……(8分)将代入上式，得，

5、因此所求方程为.……..……..…………..……..…(10分)解法二：故是所求方程的通解，……………………(8分)由，，消去得所求方程为。.…………………………………………....(10分)六、（10分）设抛物线过原点，当时，，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为。试确定使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。解：因抛物线过原点，故c=1。由题设有。即。………..………….…(2分)而。……………………………….…………(5分)令，得，代入b的表达式得。所以，……………..…………(8分)又因及实际情况，当，，时，体积最小。.…………...…

6、……….……….………….……….………….…(10分)七、（15分）已知满足（为正整数），且，求函数项级数之和。解：先解一阶常系数微分方程，求出的表达式，然后再求的和。由已知条件可知是关于的一个一阶常系数线性微分方程，故其通解为，…..……………..…..…………(6分)由条件，得，故，从而。.…………….……...…………….……..(8分)令，其收敛域为[−1,1)，当x∈(−1,1)时，有，………………………..…………………….….(10分)故.………………..………………….….….…(12分)当x=−1时，。.…………………………...….…………(

7、13分)于是，当时，有。.……….…..….……….(15分)八、（10分）求时，与等价的无穷大量。解：，………………….…………….….….…(3分)………………….…….………….....….………(7分)………………….…..(10分)