非圆截面压扭弹性细杆的稳定性.doc

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1、非圆截面压扭弹性细杆的稳定性薛纭[摘要]受力螺旋作用发生压扭变形的圆截面弹性杆在两端为铰支时稳定性的临界载荷已由A.G.Greenhill于1883年导出。本文研究非圆截面压扭弹性细杆的稳定问题。用Cardano角表示截面的姿态，根据Kirchhoff方程建立杆的平衡微分方程，得到直杆特解，其线性化扰动方程的系数矩阵是周期的，用Floquet理论讨论解的稳定性。本文为国家自然科学基金资助课题（批准号：10472067）。[关键词]压扭变形弹性细杆Kirchhoff方程稳定性Floquet理论Stabilityof

2、thinelasticrodwithnoncircularcrosssectionundercompressionandtorsionXueYunSchoolofMechanicalandAutomationEngineering,ShanghaiInstituteofTechnology[Abstract]Stabilityofthinelasticrodwithnoncircularcrosssectionundercompressionandtorsionwasstudiedinthispaper.Card

3、anoangleswereusedtoexpresstheattitudeofthesectionoftherod.Kirchhoffequationwaswrittenanditsspecialsolutionofstraightrodwasobtained.Coefficientmatrixoflinearperturbationequationofthesolutionwasperiodic.Floquettheorywasappliedtodiscussthestabilityoftherod.[keyw

4、ord]compressionandtorsionthinelasticrodKirchhoffequationstabilityFloquettheory受压弹性杆直线平衡的稳定性研究具有悠久的历史，最早可追溯到DanielBernoulli和Euler（1730）。Euler建立的细长压杆的稳定性理论在现代工程技术中得到广泛的应用，稳定性已成为衡量压杆承载能力的重要指标之一。除受压外，两端还受沿轴线作用的力偶，从而形成力螺旋作用的杆将发生压扭变形，其稳定问题具有重要的工程背景，如钻杆等。1883年，A.G.G

5、reenhill导出了圆截面弹性细杆两端为铰支时的力螺旋临界值的计算公式[1、2]：（1）称为Greenhill公式，其中为抗弯刚度。上世纪70年代以来，作为DNA的力学模型，弹性细杆力学重新受到关注[3]。刘延柱教授领导的课题组在国家自然科学基金资助下，对弹性杆的平衡和稳定性展开了系统的研究[4、5]。本文试图研究非圆截面弹性杆在力螺旋作用下直线平衡状态的稳定问题。用Kirchhohh方程导出直线平衡特解，其线性化扰动方程具有周期系数，根据Floqute理论讨论其稳定性。1弹性杆的Kirchhoff方程设为惯性

6、参照系，用Cardano角表示截面的姿态[6]。在弹性杆横截面的形心建立坐标系，此坐标系依次绕轴转过角：其中为截面的主轴坐标系，单位基矢量为，其中为截面的外法矢，亦即是中心线的切向量，转动矩阵依次为。Kirchhoff假定要求[2].（2）其中，在中的坐标阵为。设截面的主矩和弯扭度满足线弹性本构关系，，（3）式中，，这里、为和依次沿主轴的分量；为截面对轴的抗弯刚度，为抗扭刚度；撇号表示对弧坐标的导数。式（3）中我们假定原始弹性杆是直的且无扭。建立弹性杆的平衡微分方程，即Kirchhoff方程[2]：，(4)，(5

7、)其中为关于弧坐标的角速度，而为其反对称方阵，为的反对称方阵，为截面主矢在中的坐标阵。式（2）、（4）和（5）共12个方程关于变量封闭。3Kirchhoff方程的直杆解及其扰动方程式（2）、（4）和（5）存在特解，，，.（6）其中为沿轴线作用于杆两端的力螺旋。式（6）对应于杆的直线平衡状态，中心线方程为：（7）定义扰动量：，，，.（8）将（8）代入式（4）、（3）和（1），略去二阶微量，导出线性化扰动方程，（9），，，（10），，.（11）其中皆为矩阵，其元素定义为，，，这里，为积分常数。显然，解（6）的稳定性取

8、决于式（9.1）是否存在非零解。将式（9.1）化作标准形式，（12）式中，，，其中系数矩阵的周期为。引进无量纲参数，，，，，.（13）将式（12）无量纲化，注意到稳定性由齐次部分决定，化作，（14）其中撇号表示对无量纲弧坐标的导数，，，这里，，，，，，。系数矩阵的周期为。当时为圆截面情形，此时为常值矩阵。4稳定性计算求解方程（12）的稳定性转化为方程（14）的稳定性问题。