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时间:2018-12-06
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1、一个新的混沌度量指数及其应用基金项目:国家基础研究重点规划项目(2002CB111504),国家“十一五”科技支撑项目(2006BAD03A0404)作者简价:罗传文(1962-),男,教授,博士生导师,从事非线性科学、空间信息学和生物数学方面的研究。E-mail:lcw1234562000@yahoo.com.cn罗传文(东北林业大学林学院哈尔滨150040)王刚(四川农业大学都江堰分校都江堰611830)将一条离散的混沌的轨道分割成m个段,每个段由k个点组成,每一点x与最近的点的距离为M(x),以x为球心,以M(x)为直径的球称为独占球(monopolizedsphere),它的体积为v(
2、x)。由于M(x)是k-1个距离相比较后得到的最短距离,v(x)是x与其它k-1点相互分离的度量,则是一段轨道内k个点总的相互分离的度量,称为瞬时混沌强度(instantaneouschaometry),将m个瞬时混沌强度平均值称为k步混沌强度(kstepchaometry,kSCM),它是轨道内的平均分离程度的度量。Lotka-Volterra模型为:,这是一个环型的微分方程组,表示了N个生物种群相互竞争的种群动力系统,其中:,,。当[0.891.39]时,该系统从准周期通往混沌。图1是当N=100时3组不同的初值,计算的800SCM,当模型的参数连续单调变化时,800SCM连续单调变化,而
3、且与Lyapunov指数保持同步变化,轨道的初值对两个指数的影响很小。k步混沌强度的优点在于,它不依赖于模型的表达式,只依赖于轨道,而精度几乎与Lyapunov指数相近。Lyapunov指数是对轨道间平均分离速率的度量,轨道间的分离与轨道内的分离同样可以识别轨道的混沌特征。关键词:混沌;独占球;瞬时混沌强度;k步混沌强度。1引言混沌的度量工具主要有:分维、关联维、李亚普诺夫指数、近似熵、Kolmogrov熵、LemperZiv复杂度等等。这些指数可以分为三大类,李亚普诺夫指数是基于距离的第1类,分维和熵是基于体积度量的第2类,复杂度是第3类。k步混沌强度是轨道内部的点的平均分离程度的度量,同时
4、是均匀程度的度量,在给定边界的情况下,分离则是均匀,均匀则是分离,越均匀则越分离,越分离则越多样,越多样则越复杂[4]。可见,李亚普诺夫指数、熵、分散度、多样性指数(生态学上用的)、复杂度、分维、均匀度、k步混沌强度等指数,都有其非常相似的本质,只是观察问题的角度大有不同。在生态学中一直用方差/均值度量均匀程度,这和均匀度的意义是一致的,和k步混沌强度的意义也是一致的。在概率论和数理统计中,熵最初用于描述随机试验的不确定性程度,它也可以视为一个分布的分散程度(集中程度的反面)。李亚普诺夫指数描述的是两条轨道间的指数分离程度,指数分离仍是一种分离,加了指数变换则更不容易让人看出它的直观意义。另外
5、,一次随机试验产生一个空间上的点,对动力系统的一次观察也产生空间上的一个点,对于混沌的轨道,这两者非常相似。所以,都可以应用独占球进行度量。Lotka-Voltera模型[1-2]是一个有广泛用途的描述多种群交互作用的生态学模型,显然它的意义远不止在生态学上。Sprott等应用李亚普诺夫指数和Kaplan-Yorkedimension(DKY)对高维Lotka-Voltera模型(N<150)进行了研究表明,随着某些参数的变化,系统从准周期进入混沌,并随参数的增加,最大李亚普诺夫指数随之增加[1]。2理论和方法定义1对n维欧氏空间的有限点集S,对于任意,记,存在有,记,称为紧邻,称为紧邻距离。
6、其中是欧氏距离。将以x为球心,以为半径的闭球记为,称它为x的独占球,它的体积记为;的外切闭立方体有无限多个,记其中之一为,称为x的独占体,它的体积记为。n维球的体积为:(1)n=1,2,…,r为球的半径。根据定义2显然有,独占球的半径为,独占体的体积为,再根据(1)式,有:(2)(3)定义2(瞬时混沌强度,Instantaneouschaometry):设Rn是n维欧氏空间,Rn,有界,设θ是f的参数向量。(4)对任意和给定的k0(一般k0>10000),记轨道点集的一个子集为:,它的独占球总体积为:(5)称它为(4)的轨道的瞬时混沌强度(instantaneouschaometry,缩写为I
7、CM)。假设ICM的数学期望E(ICM)存在,则称它为期望混沌强度(expectationchaometry)。k0称为空代步数,k1称为实代步数。称:(6)为轨道的k1步混沌强度(k1stepchaometry,缩写为k1SCM)。对于定义2,可以做如下的直观解释:一条离散的轨道,把它分割成m个片段,每个片段由轨道上相邻的k个点组成,一个点的独占球体积是该点与其它点分离程度的描述,瞬时混沌强度是
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