一个新的混沌度量指数及其应用.doc

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1、一个新的混沌度量指数及其应用基金项目：国家基础研究重点规划项目（2002CB111504）,国家“十一五”科技支撑项目(2006BAD03A0404)作者简价：罗传文(1962-)，男，教授，博士生导师，从事非线性科学、空间信息学和生物数学方面的研究。E-mail:lcw1234562000@yahoo.com.cn罗传文（东北林业大学林学院哈尔滨150040）王刚(四川农业大学都江堰分校都江堰611830)将一条离散的混沌的轨道分割成m个段，每个段由k个点组成，每一点x与最近的点的距离为M(x)，以x为球心，以M(x)为直径的球称为独占球(monopolizedsphere)，它的体积为v(

2、x)。由于M(x)是k-1个距离相比较后得到的最短距离，v(x)是x与其它k-1点相互分离的度量，则是一段轨道内k个点总的相互分离的度量，称为瞬时混沌强度(instantaneouschaometry)，将m个瞬时混沌强度平均值称为k步混沌强度（kstepchaometry,kSCM），它是轨道内的平均分离程度的度量。Lotka-Volterra模型为：，这是一个环型的微分方程组，表示了N个生物种群相互竞争的种群动力系统，其中：，，。当[0.891.39]时，该系统从准周期通往混沌。图1是当N=100时3组不同的初值，计算的800SCM，当模型的参数连续单调变化时，800SCM连续单调变化，而

3、且与Lyapunov指数保持同步变化，轨道的初值对两个指数的影响很小。k步混沌强度的优点在于，它不依赖于模型的表达式，只依赖于轨道，而精度几乎与Lyapunov指数相近。Lyapunov指数是对轨道间平均分离速率的度量，轨道间的分离与轨道内的分离同样可以识别轨道的混沌特征。关键词：混沌；独占球；瞬时混沌强度；k步混沌强度。1引言混沌的度量工具主要有：分维、关联维、李亚普诺夫指数、近似熵、Kolmogrov熵、LemperZiv复杂度等等。这些指数可以分为三大类，李亚普诺夫指数是基于距离的第1类，分维和熵是基于体积度量的第2类，复杂度是第3类。k步混沌强度是轨道内部的点的平均分离程度的度量，同时

4、是均匀程度的度量，在给定边界的情况下，分离则是均匀，均匀则是分离，越均匀则越分离，越分离则越多样，越多样则越复杂[4]。可见，李亚普诺夫指数、熵、分散度、多样性指数（生态学上用的）、复杂度、分维、均匀度、k步混沌强度等指数，都有其非常相似的本质，只是观察问题的角度大有不同。在生态学中一直用方差/均值度量均匀程度，这和均匀度的意义是一致的，和k步混沌强度的意义也是一致的。在概率论和数理统计中，熵最初用于描述随机试验的不确定性程度，它也可以视为一个分布的分散程度（集中程度的反面）。李亚普诺夫指数描述的是两条轨道间的指数分离程度，指数分离仍是一种分离，加了指数变换则更不容易让人看出它的直观意义。另外

5、，一次随机试验产生一个空间上的点，对动力系统的一次观察也产生空间上的一个点，对于混沌的轨道，这两者非常相似。所以，都可以应用独占球进行度量。Lotka-Voltera模型[1-2]是一个有广泛用途的描述多种群交互作用的生态学模型，显然它的意义远不止在生态学上。Sprott等应用李亚普诺夫指数和Kaplan-Yorkedimension（DKY）对高维Lotka-Voltera模型(N<150)进行了研究表明，随着某些参数的变化，系统从准周期进入混沌，并随参数的增加，最大李亚普诺夫指数随之增加[1]。2理论和方法定义1对n维欧氏空间的有限点集S，对于任意，记，存在有，记，称为紧邻，称为紧邻距离。

6、其中是欧氏距离。将以x为球心，以为半径的闭球记为，称它为x的独占球，它的体积记为；的外切闭立方体有无限多个，记其中之一为，称为x的独占体，它的体积记为。n维球的体积为：（1）n=1，2，…，r为球的半径。根据定义2显然有，独占球的半径为，独占体的体积为，再根据(1)式，有：(2)(3)定义2（瞬时混沌强度，Instantaneouschaometry）：设Rn是n维欧氏空间，Rn，有界，设θ是f的参数向量。（4）对任意和给定的k0(一般k0>10000)，记轨道点集的一个子集为：，它的独占球总体积为：（5）称它为（4）的轨道的瞬时混沌强度(instantaneouschaometry，缩写为I

7、CM)。假设ICM的数学期望E(ICM)存在，则称它为期望混沌强度(expectationchaometry)。k0称为空代步数，k1称为实代步数。称：（6）为轨道的k1步混沌强度(k1stepchaometry，缩写为k1SCM)。对于定义2，可以做如下的直观解释：一条离散的轨道，把它分割成m个片段，每个片段由轨道上相邻的k个点组成，一个点的独占球体积是该点与其它点分离程度的描述，瞬时混沌强度是