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1、探究解析几何中四类“定”的问题陈熠林从最近历年的高考试卷来分析，不难发现，解析几何不但是高中数学的重要组成部分之一，而且也是高考试卷上永远的宠儿。解析几何中“定”的问题是近几年高考中的热点问题，所以对解析几何中“定”的问题的研究就显得尤为必要．解析几何中的定值问题，一般是指在诸如动直线、动点、动园、动值等动态事物中寻求某一个不变量的一定值。定值问题经常以解答题的形式出现有时还需要考生自己先尝试探究出定值，然后再根据自己的探究给出解答。下面对解析几何中几种“定”的问题加以探究分析，希望可以让学生增强领悟能力，增加日积月累，
2、做题时能随机应变．类型一、定直线问题例1已知、分别为椭圆:的上、下焦点,其中也是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点,且.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)已知点和圆:,过点的动直线与圆相交于不同的两点,在线段上取一点,满足:,,(且).求证:点总在某定直线上.分析初读题可发现本题是一道常规的椭圆与抛物线相交、圆与直线相交的题目，所以可以从常规方法入手，但细看此题，又可发现本题有个显眼的条件——向量的关系式，那么对于本题，能否跳过常规思路，从向量这一条件去着手解答呢？下面我们来看一看。解：（1）由C2：x2=4y知，F1（0，1
3、），设M（x0，y0）（x0<0），因M在抛物线C2上，故x02=4y0，又
4、MF1
5、=，则y0+1=，得x0=，y0=，而点M在椭圆上，有，又c=1，所以椭圆方程为 （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由，得（1-x1，3-y1）=-λ（x2-1，y2-3），即 x1-λx2=（1-λ） ① y1-λy2=3（1-λ） ② 由= ，得x1+λx2=（1+λ）x ③ y1+λy2=（1+λ）y， ④ ∴①×③，得x12-λ2x22=（1-λ2）x ， ②×④，得y12-λ2y22
6、=3y（1-λ2） 两式相加得（x12+y12）- λ2（x22+y22）=（1-λ22）（x+3y），又点A，B在圆x2+y2=b2上，由（1）知，即在圆x2+y2=3上，且λ≠±1， ∴x12+y12=3， x22+y22=3，即x+3y=3，∴点Q总在定直线x+3y=3上点评：若从圆与直线相交入手，关键是联立它们的方程，所以需先设出直线方程，设直线方程需注意其斜率是否存在，然后联立方程，消去y，可得关于x的一元二次方程,这一步是容易出错的地方,而且这一步出错将直接影响后面的解题,再通过设而不求法即可解题.设而不
7、求法的关键在于利用韦达定理,将韦达定理代入计算定值时,计算量是比较大的,所以也容易算错,而若从向量入手,则需将相关点坐标求出或设出,再通过分别将题中条件用向量坐标表示出来，这一步对同学们来讲不难做到。类型二、定点问题例2（2012南通模拟）已知圆O的方程为，直线过点A(3，0)，且与圆O相切。（1）求直线的方程；（2）设圆O与X轴交于P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与X轴垂直的直线为，直线PM交直线于点,直线QM交直线于点，求证：以为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标。分析设出点M的坐标(s,t)，
8、求出、的坐标（用(s,t)表示），即可写出以为直径的圆C的方程。解：（1）设直线的方程（斜率不存在时，明显不符合要求），则圆心O到直线的距离为，解得，直线的方程为。（2）对于圆，令,得,故可令P(-1，0),Q(1，0),又直线过点A且与x轴垂直，所以直线方程为x=3,设M(s,t),则直线PM的方程为，解方程组，得，同理可得，Q(，∴以为直径的圆C的方程为又,∴整理得，若圆C经过定点，只需令y=0，从而有，解得，∴圆C总经过定点，坐标为。点评：本题第（1）问学生解答会比较完整，第（2）问得分估计不会太高，原因有二：一是
9、写不出圆C的方程；二是整理得后，不知该如何解决定点问题。解决与圆有关的问题时，通常要注意以下几点：①利用点斜式求圆的切线方程，注意斜率不存在的情况；②两圆相切判断是内切还是外切；③判断直线与圆及圆与圆的位置关系，留心几何法的应用。类型三、定圆问题例3（2011年镇江一模）已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P(2，)，设椭圆E的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆O所截得的弦长为.(1)求椭圆E的方程及圆O的方程；(2)若M是准线l上纵坐标为t的点，求证：存在一个异于M的点
10、Q，对于圆O上的任意一点N，有为定值；且当M在直线l上运动时，点Q在一个定圆上．分析（1）由椭圆E的离心率为，知,,即椭圆E:，把点代入得，由此能求出椭圆方程和圆的方程；（2）椭圆E的右准线l的方程为x=4,设l上取定的点M为(4,t),圆O上任意一点N为，定点Q为(x,y),因为NM与NQ的比是常数，且Q不同于M，
