探究解析几何中四类“定”的问题

《探究解析几何中四类“定”的问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、探究解析几何中四类“定”的问题探究解析几何中四类“定”的问题从最近历年的高考试卷来分析，不难发现，解析几何不但是高中数学的重要组成部分之一，而且也是高考试卷上永远的宠儿•解析几何中“定”的问题是近几年高考中的热点问题，所以对解析儿何中“定”的问题的研究就显得尤为必要.解析几何中的定值问题，一般是指在诸如动直线、动点、动圆、动值等动态事物屮寻求某一个不变量的一定值•定值问题经常以解答题的形式出现，有时还需要考生自己先尝试探究出定值，然后再根据自己的探究给出解答•下面对解析几何中几种“定”的问题加以探究分析，希望可以让学生增强领悟能力，增加日积月累，做题时能随机应变.❷

2、类型一定直线问题❷例1已知F❷1、F❷2分别为椭圆C❷1:y❷2a❷2+x❷2b❷2=1(a>b>0)的上、下焦点，其中F❷1也是抛物线C❷2:x❷2二4y的焦点，点M是C❷1与C❷2在第二象限的交点,且

3、MF❷1

4、=53.❖(I)求椭圆C❷1的方程•❷(II)已知点P(l,3)和圆0:x❷2+y❷2二b❷2,过点P的动直线1与圆0相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点Q,满足：❷AP❷二-X❷PB❷，❷AQ❷二X❷QB❷，(入H0且入工土1)•求证:点Q总在某定直线上•❷分析:初读题可发现本题是一道常规的椭圆与抛物线相交、圆与直线相交的题目，所以可以从常规方法

5、入手，但细看此题，又可发现本题有个显眼的条件一一向量的关系式，那么对于本题，能否跳过常规思路，从向量这一条件去着手解答呢？❷解:(1)rflC❷2：x❷2二4y矢U,F❷1(0,1),设M(x❷0,y❷0)(x❷0〈0),❷因M在抛物线C❷2上，故x❷2❷0二4y❷0,又

6、MF❷1

7、二53,贝ljy❷0+1二53,得x❷0二263,y❷0二23,而点M在椭圆上，有(23)❷2a❷2+(263)❷2b❷2=1,又c二1,所以椭圆方程为x❷24+y❷23=1.❷(2)设A(x❷1,y❷1),B(x❷2,y❷2),Q(x,y),❷

8、tl❷AP❷二-入❷PB❷，得（1-X0

9、1,3-y❷1）二-入（x❷2-1,y❷2-3）,即x❷1-入x❷2二（1-入）①❷y❷1-入y❷2=3（1-入）②❷由❷AQ❷二入❷QB❷，得x❷1+入x❷2二（1+入）x③❷y❷1+入y❷2二（1+入）y④❷所以①X③，得x❷2❷1-入❷2x❷2❷2二（1-入❷2）x,❷②X④,得y❷2❷1-入❷2y❷2❷2二3y（1-入❷2）❷两式相加得（x❷2❷1+y❷2❷1）-X02（x❷2❷2+y❷2❷2）二（1-入❷2❷2）（x+3y）,❷乂点A,B在圆x❷2+y❷2二b❷2上，由（1）知，即在圆x❷2+y❷2二3上，且入H±l,❷所以x❷2❷1+y❷2❷1二3,x❷

10、2❷2+y❷2❷2二3,即x+3y二3,❷所以点Q总在定直线x+3y二3上.❷点评：若从圆与直线相交入手，关键是联立它们的方程，所以需先设出直线方程，设直线方程需注意其斜率是否存在，然后联立方程，消去y,可得关于x的一元二次方程,这一步是容易出错的地方,而且这一步出错将直接影响后面的解题,再通过设而不求法即可解题•设而不求法的关键在于利用韦达定理,将韦达定理代入计算定值时，计算量是比较大的，所以也容易算错，而若从向量入手，则需将相关点坐标求出或设出，再通过分别将题中条件用向量坐标表示出來，这一步对同学们來讲不难做到.❷类型二定点问题❷例2（2012年南通模拟）已知圆

11、0的方程为x❷2+y❷2二1,直线1❷1过点A（3,0）,且与圆0相切•❷（1）求直线1❷1的方程；（2）设圆0与x轴交于P,Q两点，M是圆0上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为1^2,直线PM交直线102于点L,直线QM交直线1❷2于点Qz,求证：以P‘Qf为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标•❷分析:设出点M的坐标（s,t）,求出P，、Q'的坐标（用（s,t）表示），即可写出以P‘Q，为直径的圆C的方程•❷解：（1）设直线1❷1的方程y二k（x-3）（斜率不存在时，明显不符合要求），则圆心0到直线1❷1的距离为d二

12、3k

13、k❷2+1=1,解得k二

14、±24,直线1❷1的方程为y二±24（x-3）•❷（2）对于圆x❷2+y❷2二1,令y二0,得x=±1,故可令P（T,0）,Q（l,0）,乂直线1❷2过点A且与x轴垂直，所以直线1❷2方程为x二3,❷设M(s,t),则直线PM的方程为y二ts+l(x+l),解方程组，得P'(3,4ts+1),同理可得，Q(3,2ts-1),所以以LQz为直径的圆C的方程为(x-3)(x-3)+(y-4ts+1)(y-2tsT)二0.又s❷2+t❷2二1,所以整理得(x❷2+y❷2-6x+l)+6s~2ty=0,若圆C经过定点，只需令y二0,从而有x❷2-6x+l二0,解得x二3