[理学]第十一章 动量矩定理

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1、第11章动量矩定理11.1质点和质点系的动量矩11.2动量矩定理11.3刚体绕定轴转动的微分方程11.4质点系相对于质心的动量矩定理11.5刚体平面运动微分方程11.1.1质点的动量矩设有质点M，其质量为m，速度为v，动量为mv，点M的矢径为r，如图所示。把质点M的动量mv对O点的矩，即定义为质点的动量对于点O的动量矩。由式可以看出，质点的动量对于点O的动量矩是矢量。质点动量mv在Oxy平面上的投影mvxy对于点O的动量矩，定义为质点的动量对z轴的矩。即11.1质点和质点系的动量矩质点的动量对于z轴的动量矩是代数量。由投影关系可知即质点的动量对于某

2、点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影时等于该质点的动量对于该轴的动量矩。动量矩的单位为kg•m2/s。11.1.2质点系的动量矩质点系对点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和，或称为质点系动量对点O的主矩，即质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴的动量矩的代数和，即11.1.3刚体绕定轴转动时对转轴的动量矩工程中，常需计算作定轴转动的刚体对固定轴的动量矩。刚体绕定轴转动时对转轴的动量矩可表示为从转动惯量的公式可见，影响其大小的有两个因素，一是它的质量大小，另一个因素具体反映在刚体的形状及其与转轴的相对位置。转动惯量的单位为kg•m2。

3、结论：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。引入，称为刚体对z轴的转动惯量，它表明了刚绕定轴z转动时的惯性大小。则上式可写为11.1.4常见物体的转动惯量若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量公式又可改写成如下形式利用上式可将几种常见的形状规则、质量均匀刚体的转动惯量计算出来。(1)长为l，质量为m的均质直杆均质直杆对过端点O的z轴的转动惯量为均质直杆对过中点O的z轴的转动惯量为(2)半径为r，质量为m的均质薄圆环对中心轴的转动惯量为(3)半径为R，质量为m的均质圆板对中心轴的转动惯量为11.1.5回转半径在工程实

4、际中有时也把转动惯量写成刚体的总质量m与当量长度ρz的平方的乘积形式，即上式中，ρz为刚体对于z轴的回转半径，又称惯性半径。于是表1简单形状均质物体的转动惯量工程中几种常用简单形状均质物体的转动惯量的计算可查下表。11.1.6平行移轴公式刚体对于任一轴z1的转动惯量，等于刚体对与此轴平行的质心轴的转动惯量JzC，加上刚体的质量与z1轴到质心轴zC的距离d平方的乘积。【例11-1】钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1和m2，杆长为l，圆盘直径为d。求钟摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量。解：分别计算杆和圆盘对于水平轴O的转动惯量

5、钟摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量为11.2动量矩定理11.2.1质点的动量矩定理如图所示的质点M，其动量为mv，则质点M对点O的动量矩用矢积可表示为上式两边分别对时间求导数，可得即上式称为质点动量矩定理，即质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点的力对同一点的矩。11.2.2质点系的动量矩定理设有n个质点组成的质点系，每个质点的力分成内力和外力，根据质点的动量矩定理有对于n个质点组成的质点系，共有n个这样的方程，将这n个方程相加，可得由于内力总是成对出现，故，上式可写为即上式就是质点系的动量矩定理。可表述为：质点系对于某定点O的动量

6、矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点的矩的矢量和(外力对点O的主矩)。上式写成投影形式为11.2.3动量矩守恒定律若作用于质点系上外力对某点之矩的矢量和(即外力偶系的主矩)为零，则质点系的总动量矩保持不变。即如果，则LO=常矢量。若作用在质点系上的外力对某固定轴之矩的代数和等于零，如果，则Lz=常数。这个结论称为动量矩守恒定律。【例11-2】如图所示提升装置中，已知滚筒直径d，它对转轴的转动惯量为J。求重物上升的加速度。解：取滚筒和重物组成的质点系为研究对象，受力分析如图所示。设某瞬时滚筒转动的角速度为ω，则重物上升的速度为v=dω

7、/2。整个系统对转轴O的动量矩为由质点系的动量矩定理，有于是滚筒角加速度为重物上升的加速度等于滚筒边缘上任意一点的切向加速度，可表示为【例11-3】均质滑轮半径分别为r1和r2，两轮固连在一起并安装在同一转轴O上，两轮共重为mg，对轮心O的转动惯量为JO，如图所示。重物A、B的质量分别为m1、m2。求重物A向下运动的加速度。解：取整体为研究对象，其受力分析和运动分析如图所示。应用质点系的动量矩定理，有而质点系对点O的动量矩为质点系所有外力对O点的矩的代数和为由质点系的动量矩定理，有这样，重物A向下运动的加速度为11.3刚体绕定轴转动的微分方程设定轴

8、转动刚体上作用有主动力F1、F2、…、Fn和轴承的约束反力FN1和FN2，如图所示。刚体对z轴的转动惯量为Jz，角速度为ω