第十二章 动量矩定理

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1、第十二章动量矩定理第十一章阐述的动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系机械运动规律的一个侧面，而不是全貌。例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的动量都是零，动量定理不能说明这种运动的规律。动量矩定理则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律。本章将推导动量矩定理并阐明其应用。12-1转动惯量，平行轴定理1．转动惯量质点系的运动，不仅与作用在质点系上的力有关，还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。转动惯量（Momentofinertia）是描述质点系质量分布的又一个特征量。刚

2、体对轴z的转动惯量，是刚体内各质点的质量mi与它到该轴的垂直距离rzi的平方的乘积之和，记作Jz，即2Jz=∑mirzi（12-1）如果刚体的质量是连续分布的，则可用积分表示2Jz=∫drm（12-2）M式中积分号下M表示积分范围遍及整个刚体。由（12-2）式可见，转动惯量恒为正值，它的大小不仅和整个刚体的质量大小有关，而且还和刚体各部分的质量相对于转轴的分布情况有关。它是由刚体的质量，质量分布以及转轴位置这三个因素共同决定的，与刚体的运动状态无关。22在法定计算单位中，转动惯量的常用单位是千克·米（kg·m）。刚体

3、对某轴z的转动惯量Jz与其质量M的比值的平方根为一个当量长度，称为刚体对该轴的回转半径（Radiusofgyration），即Jz2ρz=,Jz=Mρz（12-3）M必须注意：回转半径不是物体某一部分的尺寸，它只是在计算物体的转动惯量时，假想地把物体的全部质量集中到离轴距离为回转半径的某一点上，这样计算物体对该轴的转动惯量时，就简化为这个质点对该轴的转动惯量。y2．简单形状均质刚体的转动惯量形状规则的均质刚体的转动惯量可以利用式（12-2）OAx计算。xdx（1）均质细直杆：如图12-1所示均质细直杆，质l量为m，长

4、为l，建立坐标系如图。在直杆上取长为dx图12-11m的微段，作为质点看待，其质量dm=dx，此质点到z轴的距离为x，则OA杆对zl轴的转动惯量，根据式（12-2）得ml221JJ==xxmd=lzy∫l03（2）均质矩形薄板：质量为m，边长分别为b和h的均质薄板，如图12-2所示。取一平行x轴之细条，其宽度为dy。因该细条与x轴之距离均为y，则该细条对x轴的转动惯量为y2my⋅dyhyd所以，均质矩形薄板对x轴的转动惯量为yhhx2m221OJy==dymhx∫−h2h12类似地，对y轴的转动惯量为1b2Jm=by

5、12图12-2（3）均质等厚圆盘：质量为m，半径为R均质等厚薄圆盘，如图12-3所示。将圆盘分为很多同心细圆环，半径为r，宽度为dr。令圆盘单位面积的质量为ρ，则圆环对过圆心O且垂直于圆盘平面的轴z的转动惯量为23()2dπρrrr=2πρrrd由此，圆盘对z轴的转动惯量为dR1J==Jr2dπρπ34r=ρROrzO∫022但圆盘质量m=ρπR，所以R12J==JmRzO2图12-33．平行轴定理转动惯量与轴的位置有关，但在一般工程手册中所给出的大都只是刚体对通过质心C轴（质心轴）的转动惯量。对于与质心轴平行的轴的

6、转动惯量的计算，可以应用下面的定理——转动惯量的平行轴定理。定理刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即2JJM=+d（12-4）z'zC证明：2设有一刚体，质量为M，z轴通过质心C，z′轴与z轴平行且相距为d，取x、y轴如图12-4所示。现研究刚体对z轴和z′轴的转动惯量之间的关系。刚体内任一点Mi的质量mi，它距z轴和z′轴的距离分别为ri和ri′。由转动惯量的定义，刚体对于z′轴的转动惯量可表示为2Jmzi′=∑ri′22=+∑mxii⎡

7、⎤⎣⎦()ydi−222=+∑mxyii⎡⎣i−2yddi+⎤⎦整理得∑(22)∑∑2Jz′=mixi+yi−2dmiyi+mid上式中2222∑∑mxyii()+=iJzCmdMdi=z′zd据质心坐标公式ri∑myMyii=Cri′CMi(y′)因yC=0，故∑miyi=0O′ziyO把上述这些项代入Jz′中得xixyi2x′JJMzz′=+Cd图12-4证毕。表12-1给出了一些常见均质刚体的转动惯量和回转半径的计算公式，以备查用。例12-1一摆由一均质杆及一均质圆球刚连而成如图12-5所示。均质杆质量为m1，

8、圆球质量为m2，半径为r。试计算摆对于通过O点并垂直于杆的z轴的转动惯量。解以Jz1和Jz2分别表示杆与球对于z轴转动惯量，则摆对于z轴的转动惯量为两者之和，即Jz=Jz1+Jz2yO12Jz1=m1l3lz2222而JJmzC222=+dm=rmr++2()1A5r12222于是Jz=m1l+m2r+m2()1+r35x图12-53表12-1