第13章 动量矩定理-2012.4

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1、第13章动量矩定理※几个有意义的问题※质点和质点系动量矩※动量矩定理※刚体绕定轴转动的微分方程※相对于质心的质点系动量矩定理※刚体平面运动微分方程？谁最先到达顶点几个有意义的实际问题？直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象几个有意义的实际问题1.质点的动量矩§13-1质点和质点系的动量矩Mo(mv)OA(x,y,z)BrmvhyxzMO(mv)=mvh=2△OABMO(F)定位矢量度量质点绕某一点转动运动强弱的运动特征量2.质点系的动量矩Orimiviyxzm1mim2质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量和，称为质点系对点O的动量矩。vi

2、rimiyxz令：Jz——刚体对z轴的转动惯量★绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。定轴转动刚体对转轴的动量矩思考题1.质点系对某点的动量矩为,则A.是瞬时量B.是定位矢量C.点必须是固定点D.点可以是任意点思考题2.均质杆的质量为,杆长为,质心的速度为,则对点的动量矩为,对吗?§12-2动量矩定理1.质点的动量矩定理Mo(F)Mo(mv)OA(x,y,z)BrmvyxzF★质点对某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。2.质点的动量矩守恒定律rmvFMOh有心力作用下的运动问题★有

3、心力作用下的运动轨迹是平面曲线。3.质点系的动量矩定理其中：★质点系对某固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一点的矩的矢量和。4.质点系动量矩守恒定律如果外力系对于固定点的主矩等于0，则质点系对这一点的动量矩守恒。如果外力系对于固定轴之矩等于0，则质点系对这一轴的动量矩守恒。在推导动量矩定理和使用动量矩定理时,为什么要强调对固定点或固定轴?对任意动点(或动轴),能否使用常用的动量矩定理的形式?思考题两个鼓轮固连在一起，其总质量是m，对水平转轴O的转动惯量是JO；鼓轮的半径是r1和r2。绳端悬挂的重物A和B质量分别是m1和

4、m2(图a)，且m1>m2。试求鼓轮的角加速度。OABr1r2(a)例题解:取鼓轮，重物A,B和绳索为研究对象,受力分析如图示:OABr1r2(b)v1αv2m1gm0gm2gF0y系统的动量矩外力主矩例题由动量矩定理解得例题高炉上运送矿料的卷扬机。半径为R的卷筒可绕水平轴O转动，它关于转轴O的转动惯量为J。沿倾角为θ的斜轨被提升的重物A重W。作用在卷筒上主动转矩为M。设绳重和摩擦均可不计。试求重物的加速度。解：(1)研究对象——卷筒与重物A整个系统(2)受力分析：（所有外力）(3)分析运动，计算系统对轴O的动量矩——以顺时针方向为正(

5、4)外力对轴O的矩：s对重物A，有(5)由动量矩定理：比赛胜负如何?例题解：取系统为研究对象受力分析：可知,系统对z轴的动量矩守恒初始时：任意瞬时：进一步可得到运动分析:由动量矩守恒定理：解得例题均质圆盘，其绕轴O的转动惯量为J，可绕通过其中心的轴无摩擦地转动，另一质量为m2的人由B点按规律沿距O轴半径为r的圆周运动。初始时，圆盘与人均静止。求圆盘的角速度与角加速度。取圆盘与人一起为研究对象受力分析：可知,动量矩关于z轴守恒初始时：任意瞬时：解：运动分析:由动量矩守恒定理：其中例题两个转子A和B分别以角速度ωA、ωB绕同一轴线Ox、且同方

6、向转动，转动惯量分别为JA和JB，现用离合器将两转子突然结合在一起，求结合后两转子的公共角速度。取两转子A、B为研究对象可知,质点系对x轴的动量矩守恒结合前：结合后：（这里假定ω与ωA、ωB转向相同）解：受力分析：运动分析:计算系统对轴O的动量矩由动量矩守恒定理：解得均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度OPW练习OPWmg解：取系统为研究对象FOxFOyv应用动量矩定理:OPWmgFOxFOyv应用动量矩定理:例题3求：此时系统的角速度zaall

7、ABCDozABCDzABCDmgmg解：取系统为研究对象§13-3刚体绕定轴的转动微分方程virimiyxzF1F2FnFi——刚体z轴的转动惯量★刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。★转动惯量——是刚体转动时惯性的度量——定轴转动微分方程如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速度α。RαOF1F2例题根据刚体绕定轴的转动微分方程有于是得由上式可见，只有当定滑轮为匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定

8、滑轮的皮带拉力才是相等的。RαOF1F2解：例题§13-4刚体对轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量转动惯量Jz的特点：Jz≥0——恒正的标量影响Jz的因素：与转轴z的位置有关与质量mi的分布有关