[理学]9-4多元复合函数求导法则

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1、第四节一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则机动目录上页下页返回结束多元复合函数的求导法则一、多元函数与一元函数的复合多元套一元多元函数的复合情况要复杂一些大体上可以分为三类:多元复合函数的求导法则:链式法则二、多元函数与多元函数的复合多元套多元链式法则三、一元函数与多元函数的复合一元套多元一、链式法则定理(多元函数与一元函数的复合)且其导数可用下列公式计算则复合函数在对应点可导,函数在对应点具有连续偏导数,可导,如果函数及都在点证△t<0时,取“–”号由于函数在点故可微,即有连续偏导数,多元函数与一元函数的复合多元套一元沿线相

2、乘分线相加例1.设求全导数解:例2设而其中可导,求解1.上定理的结论可推广到以上公式中的导数称为全导数.推广中间变量多于两个的情况:思考:若u,v是x,y的二元函数,u=u(x,y),v=v(x,y),此时z=f(u,v)=f(u(x,y),v(x,y))是x,y的二元函数.如何求z对x,y的偏导数?多元复合函数的求导法则:链式法则2、多元函数与多元函数的复合多元套多元只须将定理中右端导数符号改为偏导符号沿线相乘分线相加解例4.解:此例与上两例有区别.这里函数f的表达式未给出,只能用链式法则求偏导.引进中间变量(引进几个中间变量?)记u=x2–y2,v=xy.从而z=f(u,v),

3、由链式法则,得z=f(u,v),u=x2–y2,v=xy.思考解:引进2个中间变量.记u=x,v=xy,则z=f(u,v).有这是否对?为什么?记等等.引进记号,设z=f(u,v),其他情况三元套两元“连线相乘,分线相加”一元函数与多元函数的复合一元套多元沿线相乘即其中两者的区别区别类似中间变量即有一元函数,也有多元函数的情况:解令记于是多元复合函数的微分不变性多元复合函数的全微分回忆一元函数的微分形式不变性微分形式:微分形式不变设z=f(u,v)可微,当u,v为自变量时,有若u,v不是自变量,而是中间变量,是否仍有这一形式?设u=u(x,y),v=v(x,y)均可微,则z=f(u

4、(x,y),v(x,y)),二、全微分的形式不变性由链式法则,代入,z=f(u(x,y),v(x,y))全微分形式不变性的实质:无论z是自变量x,y的函数或中间变量u,v的函数,它的全微分形式是一样的.例5设而求解比较1、链式法则(连线相乘,分线相加)2、全微分形式不变性小结分段(步)用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导思考题设,而试问与是否相同?为什么?等式左端的z是作为一个自变量x的函数,写出来为不相同.作业p.30习题8-42;4;5;8;9;11;12.(1);(3).

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