高数9-4多元复合函数的求导法则

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1、第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导方法第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数和梯度第八节多元函数的极值及其求法二.全微分形式不变性一.链式法则一.链式法则1.【中间变量均为一元函数】1.一元2.多元3.混合中间变量可多于两个，以上公式中的导数称为全导数.4.特殊多元复合函数①②说明：其它写法抽象函数一.链式法则2.【中间变量均为多元函数】1.一元2.多元3.混合4.特殊多元复合函数其它写法抽象函数一.链式法则3.【中间变量既有一元又有多元函数的情形】1.

2、一元2.多元3.混合4.特殊其它写法：抽象函数一.链式法则其中4.【中间变量也是自变量情形】【定理4】1.一元2.多元3.混合4.特殊其它写法：不变抽象函数一.链式法则【解】自画链式图1.一元2.多元3.混合4.特殊具体函数的复合函数求导问题例1、2、3练习11.一元2.多元3.混合4.多个混合自画链式图【解】外层不是真的抽象函数，是为了区别对谁求导才给出的。一.链式法则【解】自画链式图1.一元2.多元3.混合4.多个混合一.链式法则【练习1】【解】1.一元2.多元3.混合4.多个混合自画链式图【解】令【分析】外层是抽象函数，没有给出中间变量，故

3、对中间变量求导用简写法,也可设中间变量，最好不设。强调说明：抽象函数的复合函数求导问题不设中间变量可简写为【解】强调说明：抽象函数的复合函数求导问题代入已求出的结果四则运算求导，简写的结果先画链式图代入已求出的结果四则运算求导，【练习2】【解】先画链式图【练习3】【练习4】2.不变性的简单应用二.全微分形式不变性1.不变性的实质１.【全微分形式不变性的实质】无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.二.全微分形式不变性1.不变性的实质2.不变性的简单应用【例如】(2)利用全微分形式不变性求偏导数(1)利用全微分形式不变性，比较容

4、易地得出全微分的四则运算公式，２.【全微分形式不变性的简单应用】例6二.全微分形式不变性1.不变性的实质2.不变性的简单应用解2:利用全微分形式不变性因代入后归并含的项,及得解1:例1已用复合函数求导链式法则求解1、链式法则（分三种情况）3、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）小结2、复合函数偏导数存在的充分条件（外层函数偏导连续、内层函数偏导存在）