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《高中数学数列基本题型及解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、高中数学数列基本题型及解法1.判断和证明数列是等差(等比)数列常冇三种方法：(1)定义法：对于的任意自然数，验证aH-an_.(%/%_】)为同一常数。(2)通项公式法:①若5=fll+(n-1)d=叫+(n-k)d，贝ij｛a”｝为等差数列；②若，则⑷为等比数列。(3)屮项公式法：验证屮项公式成立。2.在等差数列｛色｝中，有关S”的最值问题——常用邻项变号法求解：[仏>0(1)当®>0,d〈0时，满足彳"°的项数m便得S加取最大值.叽1wo[am<0金(2)当6Z,<0,d>0时，满足彳八的项数m使得％取最小值。叽》0在解含绝对值的数列最值问
2、题时,注意转化思想的应丿II。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1.证明数列伉｝是等差或等比数列常用定义，即通过证明①出-陽=陽-①】或独=上「■而得。anan-l2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质,可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3.注意片与色之间关系的转化。如_J<0n=1际［S〃-S_G0,1>2an=ai+》（©-%）•k=2四、例题解析例2.已知数列｛an｝中，S”是其前/?项和，并且S/z+1=4an+2⑺
3、=1,2,…),勺=1,⑴设数列bn=afl+｝-2^(/7=1,2,……),求证：数列｛仇｝是等比数列；⑵设数列(刃=1,2,……),求证：数列仏｝是等差数列；2⑶求数列仏｝的通项公式及前n项和。分析：由于｛b“｝和｛c“｝中的项都和｛a”｝中的项有关,｛aj中又有Sw+1=4an+2，可由Sw+2-Sn+1作切入点探索解题的途径.说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前〃项和。解决本题的关键在于由条件S曲=4色+2得出递推公式。2.解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知
4、条件，在后面求解的过程中适时应用.例3.设数列｛禺｝的前项的和Sn=-(%1)(朋NJ,(1)求弘如⑵求证数列｛给｝为等比数列。3552例4、设«!=1,«2=—,6tn+2=—an+r—an(〃=1,2,・・・),4*bn=a,^[-an(兀二1,2-・)求数列｛%｝的通项公式,(2)求数列｛血』的前比项的和s“・例6.数列｛勺｝中，ax=8,偽=2且满足an+2=2an+1-annwN"⑴求数列｛a”｝的通项公式；(2)设S”=UI+
5、d2l+・・・+
6、a“l，求S”；⑶设仇二]兀(12一an)(«gN)T”=b、+b2+・・・+亿(/7丘
7、,是否存在最人的整数加，使得对任意均有3涪成立？若存在,求出〃的值;若不存在，请说明理由。说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列打不等式的综合问题。.常用方法一.观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式:(1)9,99,999,9999,…(2)1—,2—,3—,4—，•…2510172j_2亍2，寸…_23_4_亍49(3)(4)1,观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。二、定义法例2：己知数列｛山是公差为〃的等差数列，数列｛加是公比为q的(qWR且qHl)的等比数列，若函数/(x)=(x—I)2,且二/(d—l),a
8、3=f(d+l),Z?i二/(q+1),仇二他一1),(1)求数列｛。“｝和｛几｝的通项公式；当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。三、叠加法例3：已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项。-般地，对于型如类的通项公式，只要/(1)+/(2)+・•・+/(〃)能进行求和，则宜采用此方法求解。四、叠乘法例4：在数列｛an｝中，a｝=1,(n+1)•afl+]=n•an,求如的表达式。—般地，対于型如色+产/(n)•如类的通项公式，当/(1)・/(2)…・/(农)的值可以求得时，宜采
9、用此方法。五、公式法若已知数列的前/2项和S”与J的关系，求数列｛色｝的通项6Z”可用公式S”n=S“-S“_i…让2求解。例5：已知下列两数列｛色｝的前n项和Sn的公式，求｛色｝的通项公式。（1）S*=+n—1。（2）sn=n~―]注意要先分n二1和n>2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。例6.设数列｛〜｝的首项为ai=l,前n项和Sn满足关系30—⑵+3)S-=3t(t>0,n=2,3,4,…)求证：数列仏｝是等比数列。六、阶差法例7.已知数列｛%｝的前n项和S”与an的关系是為'其中&是与n无关的常数,且"1。求出用n和b表示的a
10、n的关系式。利用阶弟法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即其和为处七、待定系数法例8：设数列｛c“｝的各项是一个等差数列与一个等比数
