导数应用基本题型及解法

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1、导数应用基本题型及解法题型1：导数的概念例1．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：发表论文.starlun（t,e--t）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求S（t）的最大值.解：（Ⅰ）因为所以切线的斜率为故切线的方程为即.（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得所以S（t）==从而∵当（0，1）时，>0,当（1,+∞）时,<0,所以S(t)的最大值为S(1)=点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。题型4：借助导数处理单调性、极

2、值和最值例4．（1）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，则必有（）A．f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C．f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）解析：（1）依题意，当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，＋）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（－，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得

3、最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），故选C；点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。题型5：利用导数解决与单调性有关的证明问题例5．（1）求证（2）求证（1）证：令∴原不等式令∴∴∴∴令∴∴∴∴∴（2）令上式也成立将各式相加即点评:先对题目进行代数表达式的整合，构造函数模型，再利用导数进行单调性的判断；也要注意定义域的作用。题型6：利用导数求和例

4、6．（1）；（2）。解：（1）当x=1时，；当x≠1时，∵，两边都是关于x的函数，求导得即（2）∵，两边都是关于x的函数，求导得。令x=1得，即。点评：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。题型7：导数综合题例7．已知某质点的运动方程为下图是其运动轨迹的一部分，若时，恒成立，求d的取值范围.解：由图象可知，处取得极值则即点评：本题运用导数求出最值，在转化为恒成立问题即可。主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，.starlunwe

5、n.同时也考查逻辑推理能力。