《导数各种题型及解法总结》---教师.docx

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1、《导数各种题型及解法总结》基础知识梳理1.常见题型1.2.3.4.5.6.小题：函数的图象函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);分段函数求函数值；函数的定义域、值域(最值)；函数的零点；抽象函数；、大题:1.2.3.4.5.6.7.8.求曲线y=f(x)在某点处的切线的方程;求函数的解析式讨论函数的单调性，求单调区间;求函数的极值点和极值；求函数的最值或值域；求参数的取值范围证明不等式；函数应用问题(1)曲线yf(x)在xx0处的切线的斜率等于f(x0)，且切线方程为yf(xg)(xXo)f(x

2、o)。⑵若可导函数yf(x)在xxo处取得极值，则f(X。)0。反之，不成立。⑶对于可导函数f(x)，不等式f(x)0(0)的解集决定函数f(x)的递增(减)区间。⑷函数f(x)在区间1上递增(减)的充要条件是：xIF(x)0(0)恒成立(f(x)不恒为0).(5)函数f(X)(非常量函数)在区间1上不单调等价于f(x)在区间1上有极值，则可等价转化为方程f(x)0在区间1上有实根且为非二重根。(若f(x)为二次函数且I=R，则有0)。(6)f(x)在区间1上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进

3、而得到f(x)0或f(x)0在1上恒成立⑺若"x?I，f(x)0恒成立，则f(X)min0；若x，f(X)0恒成立，则f(X)max0(8)若x0I，使得f(X°)0，则f(x)max0；若x0I，使得f(X°)0,则f(X)min0.(9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D,若XDf(x)g(x)恒成立，则有f(X)g(X)min0.(10)若对X1丨1、X2I2，f(Gg(X2)恒成立，则f(x)ming(X)max•若对X1丨1，X2I2，使得f(X1)g(X2),则f(x)ming(x)mi

4、n.在解题中常用的有关结论(需要熟记)2.若对XiIl,X2I2，使得f(Xi)g(X2)，则f(x)maxg(X)max.(11)已知f(X)在区间I1上的值域为A,,g(X)在区间I2上值域为B,若对XiIi,X212，使得f(Xi)=g(X2)成立，则AB。(12)若三次函数f(X)有三个零点，则方程f(x)0有两个不等实根为、他，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式：①lnxx1(x0)②ln(x+1)x(x1)③ex1xX⑤lnXx1(x1)⑥lnx1)2X12x2(x0)

5、3.解题方法规律总结1.关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。要结合函数图象，考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。2.已知函数(含参数)在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：①子区间法；②分离参数法；③构造函数法。3.注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解，含参数的方程在某区间上有实根(包括根的个数)等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最

6、值，后者是求函数的值域。4.关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式(上述结论中的13)，确定要证明的函数不定式(往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关)，再对自变量x赋值，令x分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。)5.关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，

7、二是参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值，结合函数图象，确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步：令f(x)0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知;其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数

8、)一(已知谁的范围就把谁作为主元)；例1：设函数yf(x)在区间D上的导数为f(x)，f(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)0恒成立，则称函数yf(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数,f(x)x4mx33x21262(1)若yf(x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围;(2)若对满足m2的任何一个实数m，函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”，求ba的最大值.4332解：由函数f(X)—竺得f1262