高中数学数列题型归纳及解题方法梳理

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1、数列典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1(2010陕西文16)已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项;(Ⅱ)求数列{2an}的前n项和Sn.解:(Ⅰ)由题设知公差d≠0,由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得=,解得d=1,d=0(舍去),故{an}的通项an=1+(n-1)×1=n.(Ⅱ)由(Ⅰ)知=2n,由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.27小结与拓展:数列是等差数列,则数列是等比数列,公比为

2、,其中是常数,是的公差。(a>0且a≠1).【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例2已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同,且a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n对任意的n∈N*都成立,数列{bn+1-bn}是等差数列.求数列{an}与{bn}的通项公式。解:a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n(n∈N*)①当n≥2时,a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8(n-1)(n∈N*)②①-②得2n-1an=8,求得an=24-n,27在①中令n=1

3、,可得a1=8=24-1,∴an=24-n(n∈N*).由题意知b1=8,b2=4,b3=2,∴b2-b1=-4,b3-b2=-2,∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-(-4)=2,∴bn+1-bn=-4+(n-1)×2=2n-6,法一(迭代法)bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)=n2-7n+14(n∈N*).法二(累加法)即bn-bn-1=2n-8,bn-1-bn-2=2n-10,27…b3-b2=-2,b2-b1=-4,b1=8,相加

4、得bn=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)=8+=n2-7n+14(n∈N*).小结与拓展:1)在数列{an}中,前n项和Sn与通项an的关系为:.是重要考点;2)韦达定理应引起重视;3)迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。27【题型3】中项公式与最值(数列具有函数的性质)例3(2009汕头一模)在等比数列{an}中,an>0(nN*),公比q(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与as的等比中项为2。(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2an,数列{bn}的

5、前n项和为Sn当最大时,求n的值。解:(1)因为a1a5+2a3a5+a2a8=25,所以,+2a3a5+=25又an>o,…a3+a5=5又a3与a5的等比中项为2,所以,a3a5=4而q(0,1),所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1,,a1=16,所以,27(2)bn=log2an=5-n,所以,bn+1-bn=-1,所以,{bn}是以4为首项,-1为公差的等差数列。所以,所以,当n≤8时,>0,当n=9时,=0,n>9时,<0,当n=8或9时,最大。小结与拓展:1)利用配方法、单调性法求数列的最值;

6、2)等差中项与等比中项。二、数列的前n项和1.前n项和公式Sn的定义:Sn=a1+a2+…an。272.数列求和的方法(1)(1)公式法:1)等差数列求和公式;2)等比数列求和公式;3)可转化为等差、等比数列的数列;4)常用公式:;;;。(2)分组求和法:把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化成等差数列或等比数列,然后由等差、等比数列求和公式求解。(3)倒序相加法:如果一个数列{an},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n27项和即可用倒序相加法。如:等差数列的前

7、n项和即是用此法推导的。(4)裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。适用于其中{}是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。如:1)和(其中等差)可裂项为:;2)。(根式在分母上时可考虑利用分母有理化,因式相消求和)常见裂项公式:(1);(2);(3);273.典型例题分析【题型1】公式法例1等比数列的前n项和Sn=2n-p,则=________.解:1)当n=1时,;2)当时,。因为数列为等比数列,所以从而等比数列为首项为1,公比为2的等比数列。故等比数

8、列为首项为1,公比为的等比数列。27小结与拓展:1)等差数列求和公式;2)等比数列求和公式;3)可转化为等差、等比数列的数列;4)常用公式:(见知识点部分)。5)等比数列的性质:若数列为等比数列,则数列及也为等比数列,首项分别为、,公比分别为、。【题型2】分组求和法例2(2010年丰台期末18)数列中,,且点在函数的图象上.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)在数列中,依次抽取

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