高中数学数列题型归纳及解题方法梳理

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1、数列典型例题分析【题型1】等差数列与等比数列的联系例1（2010陕西文16）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1，d＝0（舍去），故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.27小结与拓展：数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为

2、，其中是常数，是的公差。（a>0且a≠1）.【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例2已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．求数列{an}与{bn}的通项公式。解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*)①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)(n∈N*)②①－②得2n－1an＝8，求得an＝24－n，27在①中令n＝1

3、，可得a1＝8＝24－1，∴an＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，法一（迭代法）bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二（累加法）即bn－bn－1＝2n－8，bn－1－bn－2＝2n－10，27…b3－b2＝－2，b2－b1＝－4，b1＝8，相加

4、得bn＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝8＋＝n2－7n＋14(n∈N*)．小结与拓展：1）在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。27【题型3】中项公式与最值（数列具有函数的性质）例3（2009汕头一模）在等比数列｛an｝中，an＞0(nN＊），公比q(0,1)，且a1a5+2a3a5+a2a8＝25，a3与as的等比中项为2。（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）设bn＝log2an，数列｛bn｝的

5、前n项和为Sn当最大时，求n的值。解：（1）因为a1a5+2a3a5+a2a8＝25，所以，+2a3a5+＝25又an＞o，…a3＋a5＝5又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4而q（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，，a1＝16，所以，27（2）bn＝log2an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列。所以，所以，当n≤8时，＞0，当n＝9时，＝0，n＞9时，＜0，当n＝8或9时，最大。小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；

6、2）等差中项与等比中项。二、数列的前n项和1.前n项和公式Sn的定义：Sn=a1+a2+…an。272.数列求和的方法（1）（1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:；；；。（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。（3）倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n27项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前

7、n项和即是用此法推导的。（4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）和（其中等差）可裂项为：；2）。（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）常见裂项公式：（1）；（2）；（3）；273.典型例题分析【题型1】公式法例1等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－p，则＝________.解：1）当n=1时，；2）当时，。因为数列为等比数列，所以从而等比数列为首项为1，公比为2的等比数列。故等比数

8、列为首项为1，公比为的等比数列。27小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列为等比数列，则数列及也为等比数列，首项分别为、，公比分别为、。【题型2】分组求和法例2（2010年丰台期末18）数列中，，且点在函数的图象上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在数列中，依次抽取