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1、第1章二维傅里叶分析第一讲光学中常用的儿种非初等函数6函数I重要的基本概念和公式5函数性质（1）筛选特性JL心y)5(x一兀o，y-Jo)dxdv=/(x0,y0)（2）可分离变量8(x一x0,y-y0)=8(X-Xo)8(y-y0)（3）乘法性质f(x9y)8(x-xQ9y-yQ)=f(xQ9yQ)S(x-x0,y-y0)（4）坐标缩放6（处孙）=肪§（兀V）（5）积分形式[8[88(x)=——fcoscoxdco,8(x)=——fe~,fJXdcoII例题讲解：0C证明：#±曲"0=5（兀）—00000000e±j2^xXdfx=
2、[cos（2^.
3、%）±zsin（2<%）J/fv=2『cos（2矿‘加—oo-co0伽2人噜—）2人T8呵xX此证明利用了关系式fN（兀）=Nsinc（Nx）；S（x）=fN（兀,y）N->00m练习题：一、计算题i.已知连续函数。>0和b>0o求出下列函数：（1）/?（%）=/（x^（«x-x0）（2）g（兀）=f（x）comb{x一兀°）/b]（捉出：木题主要复习6函数的缩放性质和筛选性质；梳妆函数的抽样特征和平移复制功能）第二讲卷积和相关I重要的基本概念和公式1.卷积定义：设/(兀)和加兀)是两个复函数，其卷积定义为：00g(x)=f(x^h(x)=]f(恥-G
4、dg—oo卷积运算的意义：一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做某一平移后与另一两数的重叠面积。2.相关的定义及其运算性质两个复函数兀3)和/?(©)的互相关定义为：e肿=匸/*(g)/z(x+§)〃§=£/*(^-x~)h(^d^=/(x)★h(x)相关运算的四个步骤：第一函数取共轨T两函数变量变换T第二函数平移T相乘积分。3.互相关与卷积的比较：1)互相关时有一函数要取复共轨，而卷积没有；2)互相关图形不需要反转；3)两者在位移、相乘和积分这三个过程是一样的。4.互相关的意义：衡量两个函数间存在的关联程度，两信号关联程度高互相关值就大。II例题讲解：证明
5、:rect(-)*rect(—)=atri证明：相关与卷积的关系切(X)=/(^★/l(x)=广(-对*/2(对证明：^(x)=/(x)^/?(x)=匸广(§-必(歹)站=£h^r[-(x-^^=f(-x)*A(x)m练习题：一、证明题1.若f(x)*h(x)=g(x)，试证明f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)；即参与卷积的一个函数发生平移，卷积的结果也仅仅发生平移。证明：根据卷积的定义，已知f(x)*h(x)==£/(r-xo)/i(x-Odr=「/(f)/7(x-f-x0)dff(Oh(x-x0-f)df=g(x-x0)2.证明€>(x-x0)
6、*/(x)=/(x-x0)根据卷积的定义写出积分表达式，然后再根据6函数的筛选性质。J(x-x0)*/(%)=匸5(/-Xo)/(x-r)dr=/(x-x0)二、思考题1.利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为。，光栅常数为d,缝数为N。第三讲第四讲傅里叶变换的基木性质和基木定理I重要的基本概念和公式复函数f(x,y)的傅里叶变换定义为：00F(fxJy)=FT{f(x,y)}=\兀忑)甘-00vf^y)=FT-i{F(fxJy)}=］尸(人/、対"3』欧叭、-03其中f(A，/v)称为像函数(或频谱)，f(x,y)称为原函数.两者
7、构成傅里叶变换对;傅里叶变换基木定理(重点)1•线性定理FT{af(x9y)+bg(x,y)}=aF(fx9fy)-^bG(fxJy)2•缩放和反演定理F7V伽効}=占尸厶纟)tFT{f(-x-y)}=F(-fx-fY)abab3.位移定理FT{f(x±a,y±b)}=F(fx,人)严"“+3)FL{F(fx±^fy±7)}=g,刃严丄")4-Parseval定理jj
8、/(阳)陆dy=J血(人,厶)陆毎(能量守恒定理)-X>-OG*Iv独和电理]F{m,y)*g(s)m.)G(m3•妲f不/、疋埋].([f
9、{尸(几厶.)*GCAJj}=/d,y)
10、g(x,y)6.互相关定理S（表示互功率谱）FT{f(x9y)^8(x,y)}=FfxJy)G(fx9fy)F厂'{F(fxJy)^G(fxJ'y)}=广(兀,y)g(x,y)7.迭次变换定理FT{FT{f(x,y)}}=FTX[fT~}{f(x,y)}}=(f即对函数f（x,y）连续作两次傅立叶变换或逆变换，得其“镜像”（傅立叶变换的对称性）。光学模型为纱成像系统8•积分变换定理勺伽牛金"+竽⑺9.共辄变换定理FT{fx9y)}=F-fx,-fy)F厂{F*(s)}=fx9y)10.空间周期与空间频率r左(兀,y,z)=£)旳[i乎(兀cos
11、q+ycos0+zcos力]=Eqexp[乐・r]=EQe?q)[z乎厂cos&
