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1、第1章二维傅里叶分析第一讲光学中常用的几种非初等函数δ函数Ⅰ重要的基本概念和公式δ函数性质(1)筛选特性(2)可分离变量(3)乘法性质(4)坐标缩放(5)积分形式Ⅱ例题讲解：证明：此证明利用了关系式；Ⅲ练习题：一、计算题1.已知连续函数f(x)，a>0和b>0。求出下列函数：(1)(2)（提出：本题主要复习δ函数的缩放性质和筛选性质；梳妆函数的抽样特征和平移复制功能）第二讲卷积和相关Ⅰ重要的基本概念和公式1.卷积定义：设f(x)和h(x)是两个复函数，其卷积定义为：卷积运算的意义：一个函数绕函数轴反转并沿自变量轴做某一平
2、移后与另一函数的重叠面积。2.相关的定义及其运算性质两个复函数f(x,y)和h(x,y)的互相关定义为：★相关运算的四个步骤：第一函数取共轭®两函数变量变换®第二函数平移®相乘积分。3.互相关与卷积的比较：1）互相关时有一函数要取复共轭，而卷积没有；2）互相关图形不需要反转；3）两者在位移、相乘和积分这三个过程是一样的。4.互相关的意义：衡量两个函数间存在的关联程度，两信号关联程度高互相关值就大。Ⅱ例题讲解：证明：证明：相关与卷积的关系Ⅲ练习题：一、证明题1.若，试证明；即参与卷积的一个函数发生平移，卷积的结果也仅仅发生
3、平移。证明：根据卷积的定义，已知1.证明根据卷积的定义写出积分表达式，然后再根据δ函数的筛选性质。一、思考题1.利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N。第三讲第四讲傅里叶变换的基本性质和基本定理Ⅰ重要的基本概念和公式复函数f(x,y)的傅里叶变换定义为:其中称为像函数(或频谱)，f(x,y)称为原函数.两者构成傅里叶变换对；傅里叶变换基本定理(重点)1.线性定理2.缩放和反演定理3.位移定理4.Parseval定理(能量守恒定理)5.卷积定理6.互相关定理(表示互功率谱)7.迭
4、次变换定理ffff像面谱面物面透镜透镜即对函数f(x,y)连续作两次傅立叶变换或逆变换，得其“镜像”（傅立叶变换的对称性）。光学模型为4f成像系统8.积分变换定理9.共轭变换定理10.空间周期与空间频率试证明Ⅱ例题讲解：1.证明下面的傅里叶变换关系式根据傅里叶变换的定义，写出它的积分表达式：同理，把此结果和矩形夫琅和费衍射的结果相比较。一、计算题1.求的傅里叶变换。解：1.单色平面波的复振幅表达式为，求此波在传播方向的空间频率以及在x，y，z方向的空间频率。解：由题设知2分且2.应用卷积定理，求tri(x∕a)的傅里叶变
5、换。解：上式第五讲线性系统与线性空间不变系统和二维采样定理Ⅰ重要的基本概念和公式1.线性系统：若一个系统同时具有叠加性和均匀性，即有：则称该系统是线性系统。2.平移不变性:若则称该系统具有平移不变性。所谓平移不变性就是当输入产生平移时，输出也仅发生平移，形式不变。1.线性平移不变系统:既具有线性又具有平移不变性的系统称为线性平移不变系统。线性平移不变系统的空域描述：由FT的卷积定理：可得：线性平移不变系统的频域描述为其中：G(u,v)、F(u,v)和H(u,v)分别是g(x,y)、f(x,y)和h(x,y)的频谱。2.线
6、性平移不变系统的本征函数对于一个系统，若存在一个函数f(x,y)，满足条件：则称该函数为该系统的本征函数。线性平移不变系统的本征函数是复指数基元函数，即：，也是δ函数。脉冲响应是实函数的线性平移不变系统,其本征函数是正、余弦函数；即：Ⅱ例题讲解：1.光学傅里叶变换可看成是函数到其频谱的变换，试回答（1）这个系统是线性的吗？（2）这个系统具有线性不变性质吗？为什么？答傅里叶变换有线性性质。设a，b为常数，则函数有空间位移时其频谱有相移，并不会产生频谱移动。因此傅里叶变换没有线性平移不变性。2.写出物光场U(x,y)的二维傅
7、里叶变换表达式，并说明其物理意义。解：任意光场U(x,y),其二维傅里叶逆变换为其中U(fx,fy)dfxdfy是平面波exp[i2p(fxx+fyy)]的振幅，平面波的传播方向由空间频率（fx,fy）决定物理意义：任意一光场都可以分解成无穷多个传播方向不同的，振幅不同的平面波；例题1：有两个线性平移不变系统，它们的原点脉冲响应分别为和，试计算各自对输入函数的响应。解：对与线性平移不变系统，脉冲响应的傅里叶变换是系统的传递函数所以输入频谱为对于系统1的输出频谱为对于系统1的输出函数也为0，即对于系统2的输出频谱为对于系统
8、2的输出函数为一、计算题1、已知衍射受限光学系统的输入函数为，系统的传递函数为三角形函数。若b取：①b=1；②b=3，求系统的输出频谱和输出函数。解：根据梳妆函数的定义，梳妆函数的傅里叶变换还是梳妆函数，即，此为间隔为1的函数组成的分立的周期频谱值。当b＝0.5时，只有零频成为通过，且，输出频谱为输出的函数是的常数。
