数学竞赛客观题的解题策略

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1、数学竞赛客观题的解题策略高天峰（西华师范大学数学与信息学院四川南充637000）中图分类号：01文献标识码：A数学竞赛中客观性试题的量相对较为稳定，这些题目无论从试题的结构、形式，还是从分析、求解，都有独到、新颖之处。面对这些试题，怎样合理、科学地分析，进而快速、准确地求解，不仅影响考生应答全卷的心情，而冃对后面几道大题求解思路的产牛也将有重大影响，下面木文将结合具体的一些高中数学竞赛试题中客观题的实例，对高中数学竞赛客观题的几种解题策略进行探讨。一、合理预测（合情猜测人依据题目中的信息特征，通过对试题条件及结论的深刻分析，先进行初步预测结果，再逐步验证，是

2、解决问题的常用思路（信息特征：数量特征、结构特征、关系特征、图形特征、命题特征。）例1、设为正实数，且满足，则x+y+z的最小值为。（2004女子奥林匹克）分析：预测当x+y+z取最小值时，因为，所以即证记为（）式由、、，即有，即xy+yz+zx≥l,给（*）式平方即只需证xy+yz+zx≥l所以命题成立，即x+y+z最小值为例2、四面体P-ABC的6条棱长的和为ι,fi∠APB=∠CPA=90O,则四面体的体积的最大值是。（第5届美国数学奥林匹克）分析：设PA二，PB=,PC=易知，可以看出上式都是关于a、b、c的轮换

3、对称式。预测当a+b+c体积最大，事实上：即，此吋显然，以上两个不等式中等号成立的条件均为，故答案为。二、极端原理法：通过最大、最小、最远最近等特殊数量或位置的考察，从而发现问题的解题思路（特殊引路，探求一般证题规律）例3、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）。（1994,全国高中数学联赛）A、B、C、D、分析：当棱锥的顶点无限接警底面时，两侧面所成的角无限接近于；正棱锥的高无限增大时，二面角无限接近于正n边形的一个内角，即，因此应选（A）。例4、设四面体四个面的面积为SI、S2、S3、S4,它们中最大的为S。记，贝ijλ一定满

4、足（）。（1992,全国高中数学联赛）A、B、C、D、分析：若四面体是正四面体，则，否则；若四面体相对于某一面的高无限接近于，否则。因此应选（A）三、合理构造：通过观察给定条件或结论的结构特征，合理构造解题模型，是竞赛解题的常用手段，通常合理构造可使问题巧妙解决合理构造法分成两种类型：（-）模型性构造：构造函数、方程、图形、数列、不等式、复数等模型；（二）技巧性构造：构造对偶式、”抽屉”、算法例5、函数的最大值为。（1992,全国高中数学联赛）分析：可构造为：动点到两定点、的距离之差，由于动点的轨迹为抛物线，作图易得最大值为。例6、设其中、、、是常数。如果，

5、，，贝I」o（1998,广东省中山市数学竞赛）分析：依据，，，构造故：+四、变换视角：在解题过程中，当思维受到阻碍时，不妨转换一个角度来思考问题例7、若，则的整数部分为（）。A、1997B、1998C、1999D、2000（第8届“希望杯”高二试题）分析：由得令，得由于，，于是，故答案应选（B）例8、方程的解为。分析：去根号求解很难进行下去，变换视角比较与的大小，若，则与已知矛盾；同理若也与已知矛盾。故有，解得。五、取特殊值法：通过取特殊值可以排除某些选项，简化推理及运算过程，利用一个恰当的特殊值可以取道事半功倍的效（对于一些数学问题，我们往往也可以用此思想

6、，从特殊的情况岀发,取特殊值探讨岀问题的结论，推广到任意情况下，从而达到训练思维的目的。在数学教学中，重视和灵活使用特殊化策略，对培养思维的主体性、独创性、批判性、变通性等创新思维品质，大有裨益。）例9、设且,则的值为。（1992,上海市初中数学竞赛）分析：由，取特殊值，令,，代入故，得二例10、设函数，若实数使得对任意实数x恒成立，则的值等于（）。（2007,全国高中数学联赛）A、B、C、D、1分析：由，可得将、代入，化简得：取特殊值，令，得因此答案应选（C）六、巧设辅助元（换元法）：根据题目条件与结论的结构和内在特征，恰当地引进辅助元素，往往可以化繁为简

7、，化难为易（换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等）例口、设实数满足，则。（1993,全国高中数学联赛）分析：由，令、（）代入有，故因为，所以，故例12、设为正实数且，试确定的最大值。（1999年越南数学奥林匹克）分析：由得，令、、（、、）所以，代入当11仅当等号的条件为故其的最大值应为七、分类讨论：当遇到得问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定或问题较为复杂又确实隐含着划分因素吋，可以实施分类讨论(分类讨论的好处：一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教

8、养。)例13、若对于任意非负实数、都有，则最大的常数